Änderungen von Dokument Lösung Einfluss des Exponenten auf das Annäherungsverhalten an die Achsen

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

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1		-Musterlösung (in Worten)
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3		-Zu a)
4		-Damit sich der Graph einer Potenzfunktion für große x-Werte der x-Achse nähert, müssen die Funktionswerte immer kleiner werden. Das ist nur dann möglich, wenn der Exponent negativ ist.
5		-Bei einem negativen Exponenten steht die Variable x im Nenner. Je größer der Betrag des Exponenten ist, desto öfter wird durch x geteilt. Dadurch werden die Funktionswerte für große x-Werte schneller sehr klein.
	2	+(% style="list-style: alphastyle" %)
	3	+1. Kriterium für „schneller gegen die x-Achse“ für große {{formula}}|x|{{/formula}})} \\
	4	+Wenn sich ein Graph für große {{formula}}|x|{{/formula}} der x-Achse annähert, dann werden die Funktionswerte immer kleiner (gehen gegen {{formula}}0{{/formula}}). Das klappt bei Potenzfunktionen {{formula}}x^k{{/formula}} nur, wenn der Exponent \textbf{negativ} ist: \\
	5	+Bei {{formula}}k<0{{/formula}} kann man schreiben {{formula}}x^k=\frac{1}{x^{-k}}{{/formula}}. Dann steht im Nenner eine Potenz von {{formula}}x{{/formula}}. \\
	6	+ Für große {{formula}}|x|{{/formula}} wird der Nenner riesig – und der Bruch wird sehr klein, also nähert sich der Graph der x-Achse.
6	6
7		-Kriterium:
8		-**Von zwei Potenzfunktionen mit negativem Exponenten nähert sich diejenige schneller der x-Achse, deren Exponent einen größeren Betrag hat (also „stärker negativ“ ist**).
	8	+Kriterium: Schreibe beide Funktionen als Bruch:
	9	+{{formula}}f(x)=x^k=\frac{1}{x^{-k}}{{/formula}} und {{formula}}g(x)=x^m=\frac{1}{x^{-m}}{{/formula}} (das geht nur, wenn {{formula}}k<0{{/formula}} und {{formula}}m<0{{/formula}}). \\
	10	+ Dann gilt: \\
	11	+ Je größer {{formula}}-k{{/formula}} (also je „stärker negativ“ {{formula}}k{{/formula}} ist), desto größer wird für große {{formula}}|x|{{/formula}} der Nenner {{formula}}x^{-k}{{/formula}} und desto \textbf{schneller} wird {{formula}}f(x){{/formula}} klein. \\
	12	+ Also: Wenn {{formula}}k<m<0{{/formula}}, dann fällt {{formula}}f{{/formula}} für große {{formula}}|x|{{/formula}} schneller gegen {{formula}}0{{/formula}} als {{formula}}g{{/formula}}.
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10		-Zu b)
11		-Sich der y-Achse annähern bedeutet, dass die Funktionswerte sehr groß werden, wenn x sich der 0 nähert. Auch das passiert nur bei Potenzfunktionen mit negativem Exponenten, da die Funktion bei
12		-x=0 nicht definiert ist.
	14	+1.Überprüfung für „schneller zur y-Achse“ (für {{formula}}x\to 0{{/formula}})} \\
	15	+ Sich der y-Achse „annähern“ bedeutet hier: Wenn {{formula}}x{{/formula}} sehr nahe bei {{formula}}0{{/formula}} ist, werden die Funktionswerte sehr groß (der Graph schießt nach oben oder unten), und bei {{formula}}x=0{{/formula}} gibt es keinen Funktionswert (senkrechte Asymptote). Das passiert ebenfalls nur bei \textbf{negativen} Exponenten.
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14		-Je größer der Betrag des negativen Exponenten ist, desto schneller wachsen die Funktionswerte, wenn x sehr klein wird. Der Graph wird also in der Nähe der y-Achse schneller steil.
	17	+ Mit derselben Bruchschreibweise {{formula}}x^k=\frac{1}{x^{-k}}{{/formula}} sieht man: \\
	18	+ Wenn {{formula}}x\to 0{{/formula}}, dann wird {{formula}}x^{-k}{{/formula}} im Nenner sehr klein – und der Bruch wird sehr groß. \\
	19	+ Je größer {{formula}}-k{{/formula}} ist, desto stärker wirkt dieser Effekt: Der Graph wird in der Nähe der y-Achse \textbf{schneller} sehr groß (bzw. sehr klein, falls er nach unten geht).
15	15
16		-Ergebnis:
17		-Das Kriterium aus Teil 1 gilt auch für die Annäherung an die y-Achse:
18		-**Je größer der Betrag des negativen Exponenten ist, desto schneller nähert sich der Graph der y-Achse an**
	21	+Ergebnis Dasselbe Kriterium funktioniert auch hier: \\
	22	+Je „stärker negativ“ der Exponent ist (je größer {{formula}}-k{{/formula}}), desto schneller wächst der Betrag der Funktionswerte, wenn {{formula}}x\to 0{{/formula}}. \\
	23	+Hinweis: Bei ungeradem negativem Exponenten sind die Funktionswerte für {{formula}}x<0{{/formula}} negativ (links geht der Graph nach unten), aber die „Schnelligkeit“ der Annäherung erkennt man am Betrag der Werte.
	24	+
	25	+