Lösung Einfluss des Exponenten auf das Annäherungsverhalten an die Achsen
- Kriterium für „schneller gegen die x-Achse“ für große \(|x|\))}
Wenn sich ein Graph für große \(|x|\) der x-Achse annähert, dann werden die Funktionswerte immer kleiner (gehen gegen \(0\)). Das klappt bei Potenzfunktionen \(x^k\) nur, wenn der Exponent \textbf{negativ} ist:
Bei \(k<0\) kann man schreiben \(x^k=\frac{1}{x^{-k}}\). Dann steht im Nenner eine Potenz von \(x\).
Für große \(|x|\) wird der Nenner riesig – und der Bruch wird sehr klein, also nähert sich der Graph der x-Achse.
Kriterium: Schreibe beide Funktionen als Bruch:
\(f(x)=x^k=\frac{1}{x^{-k}}\) und \(g(x)=x^m=\frac{1}{x^{-m}}\) (das geht nur, wenn \(k<0\) und \(m<0\)).
Dann gilt:
Je größer \(-k\) (also je „stärker negativ“ \(k\) ist), desto größer wird für große \(|x|\) der Nenner \(x^{-k}\) und desto \textbf{schneller} wird \(f(x)\) klein.
Also: Wenn \(k<m<0\), dann fällt \(f\) für große \(|x|\) schneller gegen \(0\) als \(g\).
1.Überprüfung für „schneller zur y-Achse“ (für \(x\to 0\))}
Sich der y-Achse „annähern“ bedeutet hier: Wenn \(x\) sehr nahe bei \(0\) ist, werden die Funktionswerte sehr groß (der Graph schießt nach oben oder unten), und bei \(x=0\) gibt es keinen Funktionswert (senkrechte Asymptote). Das passiert ebenfalls nur bei \textbf{negativen} Exponenten.
Mit derselben Bruchschreibweise \(x^k=\frac{1}{x^{-k}}\) sieht man:
Wenn \(x\to 0\), dann wird \(x^{-k}\) im Nenner sehr klein – und der Bruch wird sehr groß.
Je größer \(-k\) ist, desto stärker wirkt dieser Effekt: Der Graph wird in der Nähe der y-Achse \textbf{schneller} sehr groß (bzw. sehr klein, falls er nach unten geht).
Ergebnis Dasselbe Kriterium funktioniert auch hier:
Je „stärker negativ“ der Exponent ist (je größer \(-k\)), desto schneller wächst der Betrag der Funktionswerte, wenn \(x\to 0\).
Hinweis: Bei ungeradem negativem Exponenten sind die Funktionswerte für \(x<0\) negativ (links geht der Graph nach unten), aber die „Schnelligkeit“ der Annäherung erkennt man am Betrag der Werte.