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Version 1.1 von Simone Schuetze am 2025/12/18 10:17
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3 1. Kriterium für „schneller gegen die x-Achse“ für große {{formula}}|x|{{/formula}})} \\
4 Wenn sich ein Graph für große {{formula}}|x|{{/formula}} der x-Achse annähert, dann werden die Funktionswerte immer kleiner (gehen gegen {{formula}}0{{/formula}}). Das klappt bei Potenzfunktionen {{formula}}x^k{{/formula}} nur, wenn der Exponent \textbf{negativ} ist: \\
5 Bei {{formula}}k<0{{/formula}} kann man schreiben {{formula}}x^k=\frac{1}{x^{-k}}{{/formula}}. Dann steht im Nenner eine Potenz von {{formula}}x{{/formula}}. \\
6 Für große {{formula}}|x|{{/formula}} wird der Nenner riesig – und der Bruch wird sehr klein, also nähert sich der Graph der x-Achse.
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8 Kriterium: Schreibe beide Funktionen als Bruch:
9 {{formula}}f(x)=x^k=\frac{1}{x^{-k}}{{/formula}} und {{formula}}g(x)=x^m=\frac{1}{x^{-m}}{{/formula}} (das geht nur, wenn {{formula}}k<0{{/formula}} und {{formula}}m<0{{/formula}}). \\
10 Dann gilt: \\
11 Je größer {{formula}}-k{{/formula}} (also je „stärker negativ“ {{formula}}k{{/formula}} ist), desto größer wird für große {{formula}}|x|{{/formula}} der Nenner {{formula}}x^{-k}{{/formula}} und desto \textbf{schneller} wird {{formula}}f(x){{/formula}} klein. \\
12 Also: Wenn {{formula}}k<m<0{{/formula}}, dann fällt {{formula}}f{{/formula}} für große {{formula}}|x|{{/formula}} schneller gegen {{formula}}0{{/formula}} als {{formula}}g{{/formula}}.
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14 1.Überprüfung für „schneller zur y-Achse“ (für {{formula}}x\to 0{{/formula}})} \\
15 Sich der y-Achse „annähern“ bedeutet hier: Wenn {{formula}}x{{/formula}} sehr nahe bei {{formula}}0{{/formula}} ist, werden die Funktionswerte sehr groß (der Graph schießt nach oben oder unten), und bei {{formula}}x=0{{/formula}} gibt es keinen Funktionswert (senkrechte Asymptote). Das passiert ebenfalls nur bei \textbf{negativen} Exponenten.
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17 Mit derselben Bruchschreibweise {{formula}}x^k=\frac{1}{x^{-k}}{{/formula}} sieht man: \\
18 Wenn {{formula}}x\to 0{{/formula}}, dann wird {{formula}}x^{-k}{{/formula}} im Nenner sehr klein – und der Bruch wird sehr groß. \\
19 Je größer {{formula}}-k{{/formula}} ist, desto stärker wirkt dieser Effekt: Der Graph wird in der Nähe der y-Achse \textbf{schneller} sehr groß (bzw. sehr klein, falls er nach unten geht).
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21 Ergebnis Dasselbe Kriterium funktioniert auch hier: \\
22 Je „stärker negativ“ der Exponent ist (je größer {{formula}}-k{{/formula}}), desto schneller wächst der Betrag der Funktionswerte, wenn {{formula}}x\to 0{{/formula}}. \\
23 Hinweis: Bei ungeradem negativem Exponenten sind die Funktionswerte für {{formula}}x<0{{/formula}} negativ (links geht der Graph nach unten), aber die „Schnelligkeit“ der Annäherung erkennt man am Betrag der Werte.