Lösung Einfluss des Exponenten auf das Annäherungsverhalten an die Achsen

Zu a)
Damit sich der Graph einer Potenzfunktion für große x-Werte der x-Achse nähert, müssen die Funktionswerte immer kleiner werden. Das ist nur dann möglich, wenn der Exponent negativ ist.
Bei einem negativen Exponenten steht die Variable x im Nenner. Je größer der Betrag des Exponenten ist, desto öfter wird durch x geteilt. Dadurch werden die Funktionswerte für große x-Werte schneller sehr klein.

Kriterium:
Von zwei Potenzfunktionen mit negativem Exponenten nähert sich diejenige schneller der x-Achse, deren Exponent einen größeren Betrag hat (also „stärker negativ“ ist).

Zu b)
Sich der y-Achse annähern bedeutet, dass die Funktionswerte sehr groß werden, wenn x sich der 0 nähert. Auch das passiert nur bei Potenzfunktionen mit negativem Exponenten, da die Funktion bei
x=0 nicht definiert ist.

Je größer der Betrag des negativen Exponenten ist, desto schneller wachsen die Funktionswerte, wenn x sehr klein wird. Der Graph wird also in der Nähe der y-Achse schneller steil.

Ergebnis:
Das Kriterium aus Teil 1 gilt auch für die Annäherung an die y-Achse:
Je größer der Betrag des negativen Exponenten ist, desto schneller nähert sich der Graph der y-Achse an