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Änderungen von Dokument BPE 2.1 Äquivalenzumformungen

Zuletzt geändert von Martina Wagner am 2025/11/27 09:27
Von Version 17.1
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am 2025/11/05 09:49
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am 2025/11/18 07:48
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.slavko
1 +XWiki.wies
Inhalt
... ... @@ -3,6 +3,8 @@
3 3  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann mithilfe von Äquivalenzumformungen die Lösung von linearen Gleichungen und Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen zurückzuführen sind, berechnen.
4 4  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Äquivalenzumformungen für das Umstellen von Formeln und linearen Ungleichungen anwenden.
5 5  
6 +== Äquivalenzumformungen ==
7 +
6 6  {{aufgabe id="Äquivalenzumformungen" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
7 7  Gib an, was korrekte Äquivalenzumformungen sind!
8 8  
... ... @@ -26,6 +26,8 @@
26 26  1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}
27 27  {{/aufgabe}}
28 28  
31 +== Lösen von Gleichungen ==
32 +
29 29  {{aufgabe id="Prüfen der Lösung" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
30 30  Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist!
31 31  
... ... @@ -32,11 +32,6 @@
32 32  {{formula}} 3(4x+4)=4(3-4x) {{/formula}}
33 33  {{/aufgabe}}
34 34  
35 -{{aufgabe id="Ungleichungen lösen" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K5" zeit="7" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
36 -(%class=abc%)
37 -1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50€ pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Personen die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat?
38 -1. Ermittle die Lösung grafisch und rechnerisch {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}
39 -{{/aufgabe}}
40 40  
41 41  {{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
42 42  Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
... ... @@ -45,14 +45,25 @@
45 45  |= Gleichung |= Lösungsmenge
46 46  | 1) {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | L =
47 47  | 2) {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | L =
48 -| 3) {{formula}}\frac{3}{x} = 9,6{{/formula}} | L =
49 -| 4) {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | L =
50 -| 5) {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | L =
51 -| 6) {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | L =
52 -| 7) {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | L =
53 -| 8) {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | L =
47 +| 3) {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | L =
48 +| 4) {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | L =
49 +| 5) {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | L =
50 +| 6) {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | L =
51 +| 7) {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | L =
52 +| 8) {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | L =
53 +| 9) {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | L =
54 54  {{/aufgabe}}
55 55  
56 +{{aufgabe id="Lösungsvielfalt?" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie WIetzorek" kompetenzen="K1, K6" zeit="" cc="by-sa"}}
57 +
58 +Es ist folgende Gleichung gegeben:
59 +
60 +{{formula}} x \cdot (2x - 🖤)=2x^2 + 3x {{/formula}}
61 +
62 +Für 🖤 darf eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden. Begründe, dass die Gleichung immer lösbar ist und gehe auf die Anzahl an Lösungen ein.
63 +
64 +{{/aufgabe}}
65 +
56 56  {{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
57 57  
58 58  Gib an, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Begründe deine Entscheidung.
... ... @@ -64,5 +64,104 @@
64 64  ☐ {{formula}}y{{/formula}} darf auf keinen Fall den Wert Null annehmen.
65 65  {{/aufgabe}}
66 66  
77 +== Bruchgleichungen ==
78 +
79 +{{aufgabe id="Definitionsmenge" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
80 +Gib die Defintionsmenge der Brüche an.
81 +(% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
82 +|= Bruch |= Definitionsmenge
83 +| 1) {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | D =
84 +
85 +| 2) {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | D =
86 +
87 +| 3) {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | D =
88 +
89 +| 4) {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | D =
90 +
91 +| 5) {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | D =
92 +
93 +{{/aufgabe}}
94 +
95 +{{aufgabe id="Hauptnenner" afb="II" kompetenzen="K2, K5" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
96 +Finde den Hauptnenner folgender Brüche
97 + (%class="123"%)
98 +
99 +1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
100 +1. {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
101 +1. {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
102 +1. {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
103 +1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
104 +{{/aufgabe}}
105 +
106 +{{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
107 + (%class="123"%)
108 +Überprüfe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist!
109 +
110 +1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
111 +1. {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
112 +
113 +
114 +{{/aufgabe}}
115 +
116 +{{aufgabe id="Rechenschritte" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
117 +Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Definitionsmenge anders dargestellt und auch eine andere Lösungsmenge herausbekommen. Nimm dazu Stellung:
118 +
119 +{{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}}
120 +{{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
121 +{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
122 +{{formula}}12x = 10 {{/formula}}
123 +{{formula}}x = \frac{12}{10}{{/formula}}
124 +{{formula}} L = \{\frac{12}{10}\} {{/formula}}
125 +{{/aufgabe}}
126 +
127 +{{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K2, K4, K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
128 +Löse unter Angabe der Definitionsmenge folgende Gleichungen:
129 + (%class="123"%)
130 +1. {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
131 +1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=5 {{/formula}}
132 +1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
133 +1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5x}{x-1}-\frac{5x^2}{x^2-1} {{/formula}}
134 +1. {{formula}}\frac{10}{2x+2}=\frac{5}{x+1}-1 {{/formula}}
135 +{{/aufgabe}}
136 +
137 +{{aufgabe id="Bruchgleichungen ergänzen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="15" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
138 +Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung genau die Lösung
139 + ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
140 + ◦ keine bzw.
141 + ◦ unendlich viele Lösungen
142 + besitzt.
143 +
144 + {{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}}
145 +
146 +{{/aufgabe}}
147 +
148 +== Formeln ==
149 +
150 +{{aufgabe id="Geschwindigkeit" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
151 +Die Geschwindigkeit {{formula}} V {{/formula}} kann mit der Formel {{formula}} V = \frac{s}{t} {{/formula}} berechnet werden, wobei {{formula}} s {{/formula}} die zurückgelegte Strecke und {{formula}} t {{/formula}} die vergangene Zeit ist.
152 +Forme die Formel nach {{formula}} s {{/formula}} und {{formula}} t {{/formula}} um.
153 +{{/aufgabe}}
154 +
155 +{{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
156 +Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
157 +[[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
158 + (%class="abc"%)
159 + 1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit den Parametern {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
160 + 1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Stelle diese Formel für {{formula}} A {{/formula}} auf.
161 + 1. Überprüfe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
162 + 1. Forme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen nach der längeren Seite um.
163 +
164 +{{/aufgabe}}
165 +
166 +{{aufgabe id="Bremsweg" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
167 +Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
168 +In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{V}{10}\cdot \frac{V}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} V {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
169 +In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{V^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} V {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
170 + (%class="abc"%)
171 +1. Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
172 +1. Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
173 +1. Erläutere, warum sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.
174 +{{/aufgabe}}
175 +
67 67  {{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}
68 68  
Trapez.ggb
Author
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1 +XWiki.wies
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Inhalt
Trapez.png
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1 +XWiki.wies
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