BPE 4.1 Lineares Gleichungssystem, Lösung und Lösbarkeit

1  Lücken und Zuordnungen  (12 min) 𝕃

Gegeben sind die beiden (lückenhaften) linearen Gleichungen
\(Schaubild\ \square: y = \square x + 1\)
\(Schaubild\ \square: 2x - y = \square\)
die den Graphen f und g zugeordnet werden können.
 
Fülle für jede Abbildung die Lücken sinnvoll aus. Es ist möglich, mehr als eine Lösung zu finden.
Abbildung 1
 \(Schaubild\ \square: y = \square x + 1\)
\(Schaubild\ \square: 2x - y = \square\)

Abbildung 2
 \(Schaubild\ \square: y = \square x + 1\)
\(Schaubild\ \square: 2x - y = \square\)

Abbildung 3
 \(Schaubild\ \square: y = \square x + 1\)
\(Schaubild\ \square: 2x - y = \square\)

2  Wer trifft wen  (5 min) 𝕃

Mehrere Läufer/innen bewegen sich auf einer geraden Strecke. Ihre Bewegungen werden durch lineare Funktionen der Form s(t) = mt + b beschrieben.
_{(t: Zeit in min, \( t \geq 0 \), s(t): zurückgelegte Strecke in Metern, m: Geschwindigkeit in m/min, b: Startposition)}
 
Gegeben sind fünf Geraden, die jeweils zu einer linearen Funktion s(t) gehören, wobei für den/die Läufer/in 0 gilt: s₀(t) = 60t
a) Beschrifte die Achsen.
b) Notiere an jede Gerade die Nummer des/r zugehörigen Läufers/in 1 bis 3.
  Eine Gerade bleibt übrig, notiere eine passende Beschreibung zu Läufer/in 4.
  

• Läufer/in 1 trifft begegnet allen anderen Läufer/innen.
• Läufer/in 2 läuft genauso schnell wie Läufer/in 0.
• Läufer/in 3 startet zu einem späteren Zeitpunkt als Läufer/in 0, überholt ihn/sie dennoch.
   
  
   
  c) Gib anhand des Schaubilds die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems an, das aus den beiden Funktionsgleichungen von Läufer/in 0 und Läufer/in 2 besteht.
  d) Eine weitere Person 5 trifft sich gemeinsam mit Läufer/in 0 beim Startpunkt, die Person 5 möchte aber nicht laufen und wartet dort auf einer Bank. Zeichne eine passende Gerade in das Schaubild.
  Stelle ein LGS auf, das den Treffpunkt von Läufer/in 0 und Person 5 ermittelt. Bestimme die Lösungsmenge 𝕃.
    

3  Schaubilder zuordnen  (5 min) 𝕃

Gib an, welches Schaubild jeweils zu den einzelnen Sachverhalten gehört.

Die Band Rudoz möchte einen neuen Verstärker kaufen. Es gibt zwei Optionen: Eine erste Anzahlung von 1200,-€ und eine restliche monatliche Ratenzahlung von   130,-€ oder eine monatliche Zahlung von 230,-€. Die Laufzeit beträgt jeweils 1 Jahr.
Julius behauptet, dass das Ergebnis des Biologie Versuchs ähnlich ist, überprüfe diese Aussage: Antons Pflanze ist zu Beginn des Versuchs 4cm groß und wächst monatlich 2 cm. Esma sagt, ihre Pflanze wachse monatlich 0,02 m und ist zu Beginn 0,4 dm groß.
Der Leistungsläufer Franz beginnt seine Route in der Talstation und steigt mit einer Geschwindigkeit von 14 km/h. Sein Freund Sami ist ebenfalls Läufer und beginnt in der Mittelstation mit derselben Geschwindigkeit.

4  Zeichnerisch lösen  (20 min) 𝕃

Löse die folgenden Linearen Gleichungssysteme graphisch. Gib jeweils die Lösungsmenge 𝕃 an.

1. \(y=\frac{7}{2}x+3\)
   \(\frac{1}{2}x-1=y\)
     
2. \(\frac{1}{2}x-y=1\)
   \(x+5=2x-2y\)

5  LGS erstellen  (20 min) 𝕋  𝕃

1. Gegeben ist die Lösungsmenge 𝕃 = {2;1} eines linearen Gleichungssystems (LGS). Stelle hierzu ein mögliches LGS auf.
2. Bestimme ein LGS, das keine Lösung hat und eines, das unendlich viele Lösungen hat.

6  Strategie  (20 min) 𝕃

Gegeben sind drei lineare Gleichungssysteme (LGS) I, II und III.
LGS I:
\(2x -6y =2\)
\(x+6y =1\)

LGS II:
\(y=-2x +5\)
\(4x-10=-2y\)

LGS III:
\(x-y=+1\)
\(-5x+5y=-15\)

1. Begründe, welches Verfahren jeweils zur Lösung des LGS vorteilhaft ist (falls du im Unterricht verschiedene Verfahren zum Lösen von LGS gelernt hast. Falls nicht: springe direkt zur nächsten Teilaufgabe).
     
2. Berechne jeweils die Lösungsmenge des LGS mit dem von dir gewählten Verfahren.

7  Gleichungssystem - effektiv gelöst  (10 min) 𝕃

Berechne jeweils die Lösungsmenge der folgenden Linearen Gleichungssysteme.

1. \(y=3x-7\)
   \(y=-x+5\)

2. \(-\frac{1}{2}x-2=y\)
   \(3x+2y=2\)

3. \(\frac{3}{2}y+3x=\frac{9}{2}\)
   \(2,\!5y+3x=\frac{9}{2}\)

8  Aus Sachverhalt  (20 min) 𝕋  𝕃

Eine Firma produziert Pullover aus Wolle. Leider ist die Maschine defekt und du als Einkäufer hast den Auftrag bekommen neues Material zu kaufen. Es liegen zwei Angebote vor.
Der ansässige Schlosser bietet dir 4 Teile für 80 €. Der Hersteller aus Argentinien möchte 18 € pro Stück und erhebt für die Transportkosten einen Pauschalbetrag von 200 €.

1. Stelle diesen Sachverhalt grafisch dar. (nur im Notfall: es gibt einen Tipp)
2. Begründe, wie du deinen Chef beraten würdest.
3. Gib, außer den mathematischen Faktoren, weitere Faktoren an, die die Entscheidung beeinflussen könnten.

9  LGS mit zwei Variablen  (15 min) 𝕃

Eine zweistellige Zahl wird um 18 kleiner, wenn man ihre Ziffern vertauscht. Die Zahl ist so groß wie das Siebenfache ihrer Quersumme. Ermittle die Zahl.

Hinweis: Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern einer mehrstelligen Zahlen. Zum Beispiel wäre die Quersumme von 108: 1+0+8=9

10  LGS mit drei Variablen  (15 min) 𝕃

Drei Tanten Karin, Brigitte und Jutta werden nach ihrem Alter gefragt. Da alle drei Tanten ihr Alter ungern einfach preisgeben, antworten sie: ohne Karin sind wir 130 Jahre alt, ohne Brigitte sind es 124 Jahre und ohne Jutta sind es 122 Jahre. Berechne das Alter von Karin, Brigitte und Jutta.

11  Drinks auf dem Schulfest  (10 min) 𝕃

Tom und Tina trinken auf einem Schulfest über den Tag verteilt mehrere alkoholfreie Cocktails. Tom trinkt dabei fünf Pina Colada, Tina hingegen nur zwei. Vom Cocktail Zombi trinkt Tom vier und Tina drei.
Zu Beginn des Schulfestes hatte Tom 10 € im Geldbeutel, als er es verlässt, sind es nur noch 4,30 €.
Tina hat für ihre Getränke 3,40 € bezahlt.

Berechne, wie viel ein Cocktail der beiden Sorten gekostet hat.

12  Grillabend mit Freunden  (15 min) 𝕃

Florian ist Gast beim Grillfest von Maria und Paul. In der Planung ging Paul in den Supermarkt und kaufte 16 Würste und 3 Baguettes zum Gesamtpreis von 33 € ein. Zuhause angekommen stellte Maria jedoch fest, dass weitere Lebensmittel fehlen und Maria kauft im gleichen Supermarkt 4 weitere Würste und 6 Baguettes zum Gesamtpreis von 24 € ein.
Beim abendlichen Grillen behauptet Florian, dass ein Baguette doppelt so teuer sei wie eine Wurst.
Beurteile die Aussage.

13  Deckungsgleich oder nicht?  (15 min) 𝕃

Gegeben sind folgende beiden linearen Gleichungen.

\((1)\quad 3x -1 = -4y\)
\((2)\quad 2 = 4x + \frac{16}{3}y\)

Clara behauptet, dass die durch die Gleichungen gegebenen Geraden deckungsgleich sind.
Nimm Stellung dazu.

14  LGS erstellen  (8 min) 𝕋  𝕃

Erstelle ein lineares Gleichungssystem, das ..

1. keine Lösung hat.
2. unendlich viele Lösungen hat.
3. genau eine Lösung hat.

15  Gaming  (15 min) 𝕃

Jona und Deniz treffen sich gemeinsam zum Zocken. Sie buchen beim selben Anbieter jeweils Pakete für:
Game-Boosts (G) sowie WLAN-Upgrades (W).
 
Jona kauft 3 Game-Boosts und 2 WLAN-Upgrades für insgesamt 18 €.
Deniz meint: "Das kann doch gar nicht sein, meine 6 Game-Boosts und 4 WLAN-Upgrades haben zusammen 37 € gekostet. Ich zahle für die doppelte Leistung mehr als das Doppelte!"
 

 
a) Prüfe, was Deniz mit seiner Aussage meint, in dem du ein lineares Gleichungssystem (LGS) aufstellst und den Preis pro Game-Boost sowie WLAN-Upgrade berechnest.
 
b) Deniz ruft den Kundenservice an. Dieser stimmt ihm zu, dass das ein Fehler in der Rechnung war. 6 Game-Boosts und 4 WLAN-Upgrades kosten zusammen nur 36 €. Nun möchte Deniz es genau wissen und versucht mit seinen Kenntnissen aus dem Matheunterricht den Preis pro Game-Boost sowie WLAN-Upgrade zu bestimmen.
Stelle ein neues lineares Gleichungssystem auf und beschreibe, auf welches Problem Deniz stoßen wird.