Änderungen von Dokument BPE 7.2 Quadratische Gleichungen
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Zusammenfassung
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... ... @@ -1,1 +1,1 @@ 1 -XWiki. holgerengels1 +XWiki.akukin - Inhalt
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... ... @@ -1,11 +1,160 @@ 1 1 {{seiteninhalt/}} 2 2 3 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann verschiedene quadratische Gleichungen mit unterschiedlichen Verfahren lösen. 3 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann verschiedenartige quadratische Gleichungen mit unterschiedlichen Verfahren lösen. 4 4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von quadratischen Gleichungen untersuchen. 5 5 6 -{{aufgabe id="Lalala" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Mathebrücke" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}} 7 -Aufgabentext 6 +{{aufgabe id="Wo ist der Fehler?" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team Mathebrücke" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}} 7 +Wo ist der Fehler? 8 + 9 +{{formula}} 10 +\begin{align} 11 +(x+2)^2 = 4 &\Leftrightarrow x^2 + 4 = 4 \\ 12 +&\Leftrightarrow x^2 =0\\ 13 +&\Leftrightarrow x=0 14 +\end{align} 15 +{{/formula}} 16 + 8 8 {{/aufgabe}} 9 9 19 +{{aufgabe id="Quadratische Gleichungen" afb="I" kompetenzen="" quelle="Team Mathebrücke" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}} 20 +Berechne die Lösungsmenge in {{formula}}G = \mathbb{R}{{/formula}}. 21 + 22 +**Aufgaben mit Lösungsformel:** 23 + 24 +1.a) {{formula}}2x^2 + 3x - 2 = 0{{/formula}} 25 +1.b) {{formula}}-x^2 - 2x + 3 = 0{{/formula}} 26 + 27 +2.a) {{formula}}x^2 - 12x + 36 = 0{{/formula}} 28 +2.b) {{formula}}x^2 - 10x + 25 = 0{{/formula}} 29 + 30 +3.a) {{formula}}9x^2 - 6x + 2 = 0{{/formula}} 31 +3.b) {{formula}}x^2 - 2x + 3 = 0{{/formula}} 32 + 33 +(% class="box" style="border: 2px solid black; background: white; padding: 10px; margin: 10px 0;" %) 34 +**Gleichung:** {{formula}}ax^2 + bx + c = 0; a \neq 0{{/formula}} 35 +Jede quadratische Gleichung kann mit dieser Formel gelöst werden: 36 +**Lösungsformel:** {{formula}}x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}{{/formula}} 37 +**Diskriminante:** {{formula}}D = b^2 - 4ac{{/formula}} 38 + 39 +**Sonderfälle:** 40 + 41 +4.a) {{formula}}2x^2 - 24 = 0{{/formula}} 42 +4.b) {{formula}}0,5x^2 - 4,5 = 0{{/formula}} 43 + 44 +5.a) {{formula}}3 \cdot (x - 0,5) \cdot (0,75 + x) = 0{{/formula}} 45 +5.b) {{formula}}1,5 \cdot (2x + 4) \cdot (3 - 0,5x) = 0{{/formula}} 46 + 47 +6.a) {{formula}}0,5x^2 - 0,75x = 0{{/formula}} 48 +6.b) {{formula}}-5x^2 + x = 0{{/formula}} 49 + 50 +(% class="box" style="border: 2px solid black; background: white; padding: 10px; margin: 10px 0;" %) 51 +(((**Merke:** 52 +**Anzahl der Lösungen:** 53 +1) Wenn {{formula}}D > 0{{/formula}} gilt, dann gibt es genau zwei Lösungen. 54 +2) Wenn {{formula}}D = 0{{/formula}} gilt, dann gibt es genau eine Lösung. 55 +3) Wenn {{formula}}D < 0 {{/formula}} gilt, dann gibt es keine Lösung. 56 +**Sonderfälle:** 57 +//mit zusätzlichen, besonderen Lösungswegen// 58 +4) {{formula}}b=0{{/formula}}, also {{formula}}\mathbf{ax^2 + c = 0}{{/formula}} 59 +(„Reinquadratische Gleichung“): 60 +Nach {{formula}}x^2{{/formula}} auflösen und Wurzel ziehen. 61 +5) Produktform, also {{formula}}\mathbf{a(x-x_1)(x-x_2) = 0}{{/formula}} 62 +(„Satz vom Nullprodukt“): 63 +Jeden Faktor einzeln gleich Null setzen. 64 +6) {{formula}}c = 0{{/formula}}, also {{formula}}\mathbf{ax^2 + bx = 0}{{/formula}} 65 +Ausklammern: 66 +Höchste gemeinsame Potenz von {{formula}}x{{/formula}} ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden.))) 67 + 68 +Jede Aufgabe kann auch mit Hilfe der p-q-Formel gelöst werden (siehe Stolpersteine). 69 + 70 +{{/aufgabe}} 71 + 72 +{{aufgabe id="Zuordnungsaufgabe quadratische Gleichungen" afb="I" kompetenzen="" quelle="Team Mathebrücke" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}} 73 +Ordne den Gleichungen die richtige(n ) Lösung(en) aus den Auswahlmöglichkeiten zu. Trage dazu a), b) und/oder c) in das Lösungsfeld ein. 74 + 75 +(% style="white-space: nowrap" class="border" %) 76 +|=Gleichung|=Auswahlmöglichkeiten|=Lösungsfeld 77 +|1) {{formula}}3x^2 + 27 = 0{{/formula}}|a) -3 \\b) 3\\c) keine Lösung| 78 +|2) {{formula}}6x^2 - 3x = 0{{/formula}}|a) -0,5\\b) 0\\c) 0,5| 79 +|3) {{formula}}2(x - 1)(x - 4) = 0{{/formula}}|a) 1\\b) 0\\c) 4| 80 +|4) {{formula}}2x^2 - x - 6 = 0{{/formula}}|a) -2\\b) 2\\c)-1,5| 81 +|5) {{formula}}-3x(x+1)+4 = 2(x^2 + 2x - 4){{/formula}}|a) -2,4\\b) -1\\c) 1| 82 +|6) {{formula}}\frac{5}{x-1} - x = -x + 1{{/formula}}|a) 1 \\b) 6 \\c) keine Lösung| 83 + 84 +{{/aufgabe}} 85 + 86 +{{aufgabe id="Leos Lösung" afb="I" kompetenzen="" quelle="Team Mathebrücke" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}} 87 +Die Gleichung {{formula}}\frac{2}{x-1}+2=\frac{6-2x}{x^2-1}{{/formula}} war als Hausaufgabe zu lösen. 88 +Leo behauptet: {{formula}}\text{L}=\{-3;1\}{{/formula}} 89 +Was hältst du von seiner Lösung? 90 + 91 +{{/aufgabe}} 92 + 93 +{{aufgabe id="Vielfachheit von Lösungen" afb="III" kompetenzen="" quelle="Team Mathebrücke" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}} 94 +Für welche Werte von {{formula}}a{{/formula}} besitzt die Gleichung 95 +{{formula}}x^2 - 2x + a = 0{{/formula}} 96 +zwei Lösungen, eine Lösung bzw. keine Lösung? 97 + 98 +{{/aufgabe}} 99 + 100 +{{aufgabe id="Entscheiden für den effektiven Lösungsweg" afb="II" kompetenzen="" quelle="Team Mathebrücke" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}} 101 +(%class=abc%) 102 +1. Kreuze bei den nachfolgenden Aufgaben an, welcher Rechenweg der effektivste ist. 103 +(%class=border%) 104 +|||abc-Formel \\bzw. \\pq-Formel |Ausklammern\\und Satz vom\\Nullprodukt|{{formula}}x^2{{/formula}} isolieren\\und Wurzel\\ziehen 105 +|a)|{{formula}}x^2 + 2x - 3 = 0{{/formula}}||| 106 +|b)|{{formula}}4x^2 - 3 = 5{{/formula}}||| 107 +|c)|{{formula}}2x^2 - x = 0{{/formula}}||| 108 +|d)|{{formula}}5x - 14 = -x^2{{/formula}}||| 109 +|e)|{{formula}}4x^2 = x^2{{/formula}}||| 110 +|f)|{{formula}}2x - 8x^2 = -3{{/formula}}||| 111 +|g)|{{formula}}4x(x - 3) = 0{{/formula}}||| 112 +|h)|{{formula}}(x - 3)4x = 7{{/formula}}||| 113 +(%class=abc start="2" %) 114 +1. Bestimme jeweils die Lösungsmenge in {{formula}}G=\mathbb{R}{{/formula}}. 115 +{{/aufgabe}} 116 + 117 +{{aufgabe id="Richtig oder falsch" afb="III" kompetenzen="" quelle="Team Mathebrücke" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}} 118 +Sind folgende Umformungen von Zeile zu Zeile richtig? 119 +Begründe, wenn die Umformung falsch ist. 120 +(%class=noborder%) 121 +|=Terme und Gleichungen:|= richtig |= falsch |= Begründung 122 +|1. {{formula}}\frac{1}{2} (x + 3) \quad \mid \cdot 2 {{/formula}} \\ 123 + {{formula}}= x + 3{{/formula}}|(% style="text-align: center" %) 124 +\\☐|(% style="text-align: center" %) 125 +\\☐| 126 +|2. {{formula}}\frac{5}{2} = (x + 3)(x + 4) \quad \mid \cdot 2{{/formula}} \\ 127 + {{formula}}5 = (2x + 6)(2x + 8){{/formula}} \\ 128 + {{formula}}5 = 4x^2 + 16x + 12x + 48{{/formula}}|(% style="text-align: center" %) 129 +\\☐\\ 130 +☐|(% style="text-align: center" %) 131 +\\☐\\ 132 +☐| 133 +|3. {{formula}}-\frac{3}{2}x + a + x = \frac{5}{2}{{/formula}} \\ 134 + {{formula}}- \frac{1}{2}x + a = \frac{5}{2} \quad \mid \cdot 2{{/formula}} \\ 135 + {{formula}}-x + a = 5{{/formula}} |(% style="text-align: center" %) 136 +\\☐\\ 137 +☐|(% style="text-align: center" %) 138 +\\☐\\ 139 +☐| 140 +|4. {{formula}}(-x + a)^2{{/formula}} \\ 141 + {{formula}}= a^2 - 2ax + x^2{{/formula}} |(% style="text-align: center" %) 142 +\\☐|(% style="text-align: center" %) 143 +\\☐| 144 +{{/aufgabe}} 145 + 146 +{{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" kompetenzen="" quelle="Team Mathebrücke" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}} 147 +Wähle die richtige(n ) Aussage(n ) aus und begründe deine Entscheidung. 148 + 149 +Wie viele Lösungen hat die folgende quadratische Gleichung? 150 +{{formula}}x^2 + 9 = 0{{/formula}} 151 + 152 +☐ Eine Lösung: {{formula}}x = -3{{/formula}}, da {{formula}}-3^2 = -9{{/formula}} 153 +☐ Zwei Lösungen: {{formula}}x_1 = 3, \ x_2 = -3{{/formula}}, da beides zum Quadrat {{formula}}-9{{/formula}} ergibt 154 +☐ Keine Lösung, da die Diskriminante negativ ist. 155 +☐ Keine Lösung, da man die Wurzel aus Null nicht ziehen kann. 156 + 157 +{{/aufgabe}} 158 + 10 10 {{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}} 11 11