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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
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1 -XWiki.holgerengels
1 +XWiki.akukin
Inhalt
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1 -{{aufgabe id="Kombinatorik" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
2 -[[image:10-seitiger Würfel.jpg||width="120" style="float: right"]]Fünf zehnseitige Würfel (mit den Zahlen 1–10) werden gleichzeitig in einem Würfelbecher geworfen. Für jeden Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede Augenzahl 10%.
3 3  
4 -Untersuche, wie viele unterschiedliche Wurfbilder geworfen werden können. (unterschiedlich im Sinne von alle verschieden, zwei gleiche, ..., alle gleich)
2 +{{aufgabe id="Skate-Rampe" afb="" zeit="" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Problemlösegruppe" cc=""}}
3 +
4 +Die folgende Abbildung zeigt eine Skate-Rampe.
5 5  
6 -,,**Bild: ** [[Dietmar Rabich>>https://commons.wikimedia.org/wiki/User:XRay]], [[Würfel, pentagonales Trapezoeder>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Würfel,_pentagonales_Trapezoeder_(W10)_--_2021_--_5627.jpg]], Ausschnitt, [[CC BY-SA 4.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/legalcode]],,
7 -{{/aufgabe}}
6 +[[image:Skate-Rampe.PNG||width="450"]]
7 +(% style="font-size: 0.8em;" %)**Abb.: Skate-Rampe** (vgl. Haas & Morath (2006) (Hrsg.). //„Anwendungsorientierte Aufgaben für die Sekundarstufe II“(S.39)//. Braunschweig: Westermann Verlag.)
8 8  
9 -{{aufgabe id="Uneigentliches Integral" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
10 -Betrachtet wird für negative rationale Zahlen //q// die Potenzfunktion //p// mit {{formula}}p(x)=x^q;\: x\neq 0{{/formula}}.
9 +Die Rampe ist massiv aus Beton gegossen. Diskutiere Möglichkeiten, das Gewicht der Rampe nur anhand der Abbildung und der Dichte von Beton (zwischen 1,5 und 2,5 g/cm^^3^^) abzuschätzen.
11 11  
12 -Für {{formula}}b \rightarrow \infty{{/formula}} heißt {{formula}}U_q=\int_1^b{p(x)}\cdot dx{{/formula}} //uneigentliches Integral// über //p//, falls {{formula}}U_q{{/formula}} eine reelle Zahl ergibt.
11 +{{lehrende}}
12 +**Variante:** Offene Aufgabe für den Unterricht/für einen größeren Klassenarbeitsteil
13 +Wie schwer wäre sie, wenn man sie massiv aus Beton gießen würde?
14 +**Information:** Die Dichte von Beton liegt zwischen 1,5 und 2,5 g/cm^^3^^
15 +{{/lehrende}}
16 +{{/aufgabe}}
13 13  
14 -Überprüfe, für welche Werte von //q// das uneigentliche Integral {{formula}}U_q{{/formula}} existiert.
15 15  
16 -[[image:x hoch minus 2.png]]
17 -{{/aufgabe}}
18 18  
19 -{{aufgabe id="Glücksrad" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
20 -[[image:Glücksrad.svg||width="180" style="float: right"]]Ein Glücksrad mit einem roten Gewinnbereich von einem Viertel wird so gedreht, dass es in einer völlig zufälligen Position zum Stillstand kommt. Einen Beobachter interessiert, wie groß der Abstand der Halteposition (grünes Dreieck in der Skizze) zum Gewinnbereich ist. Er misst den Abstand in Grad.
20 +{{aufgabe id="Spielzeug-Holzbrücke Symmetrie" afb="III" kompetenzen="K1, K3, K4, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2021/abitur/pools2021/mathematik/erhoeht/2021_M_erhoeht_B_5.pdf]]" niveau="e" tags="iqb"}}
21 +Die Abbildung zeigt modellhaft den Längsschnitt einer dreiteiligen Brücke aus Holz für eine Spielzeugeisenbahn. Die Züge können sowohl über die Brücke fahren als auch darunter hindurch.
21 21  
22 -So ist der Abstand z.B. 0°, falls das Glücksrad im Gewinnbereich zum Stillstand kommt und 90°, falls es nach einem Drittel oder zwei Dritteln des Verlustbereichs zum Stillstand kommt.
23 +[[image:SpielzeugHolzbrücke.png||width="750"]]
23 23  
24 -Bestimme mit Hilfe einer geeigneten Zeichnung den Erwartungswert dieses Abstands bei einmaliger Drehung des Glücksrads.
25 +Die obere Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}}definierten Funktion {{formula}}f: x \mapsto \frac{1}{20} x^4-\frac{2}{5}x^2+1{{/formula}} beschrieben werden. Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.
25 25  
27 +Während der Planung der Brückenform kamen zur Beschreibung der oberen Randlinie für das linke Bauteil eine Funktion {{formula}}g_l{{/formula}} und für das rechte Bauteil eine Funktion {{formula}}g_r{{/formula}} infrage. Auch bei Verwendung dieser Funktionen wäre die obere Randlinie achsensymmetrisch gewesen.
26 26  
29 +1. Beurteile jede der folgenden Aussagen:
30 +I: {{formula}}-g_l(x)=g_r(-x){{/formula}} für {{formula}}-2\leq x \leq -1{{/formula}}
31 +II: {{formula}}g_l(x-1)=g_r(-x+1){{/formula}} für {{formula}}-1\leq x\leq 0{{/formula}}
27 27  
33 +
34 +Die Form und die Größe der Brücke werden verändert, indem im bisher verwendeten Modell die obere Randlinie des Längsschnitts mithilfe der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}}definierten Funktion {{formula}}k:x\mapsto\frac{3}{5} \cdot \cos(\frac{\pi}{3}x)+\frac{4}{5}{{/formula}} beschrieben wird. Die Bauteile der veränderten Brücke lassen sich nach dem in der folgenden Abbildung dargestellten Prinzip aus einem quaderförmigen Holzblock sägen. Der beim Sägen auftretende Materialverlust soll im Folgenden vernachlässigt werden.
28 28  
36 +[[image:SpielzeugHolzbrückegesägt.png||width="750"]]
37 +)))
38 +(% style="list-style:" start="2" %)
39 +1. Der Graph von {{formula}}k{{/formula}} ist symmetrisch bezüglich jedes seiner Wendepunkte. Beschreibe, wie diese Eigenschaft mit dem in der 2. Abbildung dargestellten Prinzip zusammenhängt.
40 +1. Ermittle mithilfe des Funktionsterms von {{formula}}k{{/formula}} den Flächeninhalt der gesamten in der 2. Abbildung gezeigten rechteckigen Vorderseite des Holzblocks.
29 29  {{/aufgabe}}
30 30  
31 -{{aufgabe id="Annäherung" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
32 -[[image:cos und pot.png|| style="float: right" width="320"]]In //[0; π/2]// soll die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=\cos{x}{{/formula}} durch eine Potenzfunktion //g// mit {{formula}}g(x)=1-ax^q{{/formula}} angenähert werden, wobei //q// eine positive rationale Zahl ist und //a// so gewählt wird, dass der Graph von //g// ebenfalls bei //π/2// eine Nullstelle besitzt.
43 +{{aufgabe id="CO2-Konzentration trigonometrisch" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2020/abitur/pools2020/abitur/pools2020/mathematik/erhoeht/2020_M_erhoeht_B_Analysis_WTR_1.pdf]]" niveau="e" tags="iqb"}}
44 +In einer Messstation wird seit 1958 kontinuierlich die CO,,2,,-Konzentration in der Luft
45 +gemessen, die in ppm (parts per million) angegeben wird. Innerhalb eines Jahres schwankt die CO,,2,,-Konzentration. Für einen bestimmten Zeitraum von acht Monaten lassen sich die gemessenen Werte modellhaft durch die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}k: x \mapsto 3,3\cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}x\right)+406{{/formula}} beschreiben. Dabei ist {{formula}}x{{/formula}} die in diesem Zeitraum vergangene Zeit in Monaten und {{formula}}k(x){{/formula}} die CO,,2,,-Konzentration in ppm. Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass jeder Monat 30 Tage hat.
46 +
47 +1. Gib an, wie der Graph von {{formula}}k{{/formula}} schrittweise aus dem Graphen der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}s: x \mapsto \sin(x){{/formula}} hervorgeht. Beurteile, ob die Reihenfolge der einzelnen Schritte von Bedeutung ist.
48 +{{/aufgabe}}
33 33  
34 -(% style="list-style: alphastyle" %)
35 -1. Bestimme //a// in Abhängigkeit von //q//.
36 -1. (((Begründe, weshalb ein kleiner Wert des Integrals
50 +{{aufgabe id="Anzahl Gleichungslösungen" afb="" kompetenzen="K1, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2022/abitur/pools2022/mathematik/erhoeht/2022_M_erhoeht_A_10.pdf]]" niveau="e" tags="iqb"}}
51 +Gegeben sind die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen {{formula}} f: x \mapsto \cos(x){{/formula}} und {{formula}} g_k: x \mapsto k\cdot x^2{{/formula}} mit {{formula}} k \in \mathbb{R}^+{{/formula}}. Die Abbildung zeigt die Graphen von {{formula}}f{{/formula}} und {{formula}}g_{\frac{1}{50}}{{/formula}}.
37 37  
38 -{{formula}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)-g(x)\cdot dx{{/formula}}
53 +1.Entscheide, ob es Werte von {{formula}}k{{/formula}} gibt, für die die Gleichung {{formula}}f(x)=g_k(x){{/formula}} mehr als 2022 Lösungen hat. Begründe deine Entscheidung.
54 +
55 +[[image:cosx,kxhoch2.PNG||width="500" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
39 39  
40 -ein guter Hinweis dafür ist, dass //g// eine gute Näherung für //f// ist.
41 -)))
42 -1. Finde eine Potenzfunktion //g//, die //f// gemäß des Kriteriums von b) gut annähert.
57 +{{/aufgabe}}
43 43  
44 -(Bonus: Stelle //f// und die Annäherung aus c) mit Geogebra dar und berechne die durchschnittliche Abweichung von //f// und der Annäherungsfunktion.)
59 +{{aufgabe id="Sinusparameter bestimmen" afb="II" kompetenzen="K1,K2, K5" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2022/abitur/pools2022/mathematik/erhoeht/2022_M_erhoeht_B_8.pdf]]" niveau="e" tags="iqb"}}
60 +
61 +Betrachtet wird die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}s{{/formula}} mit {{formula}} s(x)=a\cdot \sin(b\cdot x)+1{{/formula}}. Die Punkte {{formula}}E_1\left(-2|-1\right){{/formula}} und {{formula}}E_2\left(2|3\right){{/formula}} sind direkt aufeinanderfolgende Extrempunkte des Graphen von {{formula}}s{{/formula}}.
62 +
63 +1. Bestimme die Werte von {{formula}}a{{/formula}} und {{formula}}b{{/formula}}.
64 +
45 45  {{/aufgabe}}
46 46  
67 +== IQB-Index ==
68 +{{getaggt}}iqb{{/getaggt}}
Blaettchen.PNG
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Gaußsche Summenformel.PNG
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Gitter 7x7.svg
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1 +<svg version="1.1" viewBox="0.0 0.0 385.51181102362204 385.51181102362204" fill="none" stroke="none" stroke-linecap="square" stroke-miterlimit="10" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><clipPath id="p.0"><path d="m0 0l385.5118 0l0 385.5118l-385.5118 0l0 -385.5118z" clip-rule="nonzero"/></clipPath><g clip-path="url(#p.0)"><path fill="#000000" fill-opacity="0.0" d="m0 0l385.5118 0l0 385.5118l-385.5118 0z" fill-rule="evenodd"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m3.7795277 2.28084l0 380.45404" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#000000" stroke-width="3.0" stroke-linecap="butt" d="m57.771652 2.28084l0 58.826775" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m57.771652 61.107613l0 321.6273" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m111.76378 2.7795277l0 379.95535" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m165.7559 2.7795277l0 379.95535" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m219.74803 2.7795277l0 379.95535" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m273.74014 2.7795277l0 379.95535" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m327.73227 2.7795277l0 323.769" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#000000" stroke-width="3.0" stroke-linecap="butt" d="m327.73227 326.54855l0 56.685028" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m381.7244 2.7795277l0 380.45404" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#000000" stroke-width="3.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 3.7795277l56.490814 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m59.27034 3.7795277l323.45404 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 59.608925l53.49344 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#000000" stroke-width="3.0" stroke-linecap="butt" d="m56.272964 59.608925l56.490814 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m112.76378 59.608925l269.96063 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 113.296585l379.94485 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 166.98425l379.94485 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 220.67192l379.94485 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 274.3596l379.94485 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 328.04724l269.9606 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#000000" stroke-width="3.0" stroke-linecap="butt" d="m272.74014 328.04724l56.490814 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m329.23096 328.04724l53.49344 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 381.7349l323.45404 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#000000" stroke-width="3.0" stroke-linecap="butt" d="m326.23358 381.7349l56.490814 0" fill-rule="nonzero"/></g></svg>
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