Änderungen von Dokument Lösung Rechteck im Graphen

Zusammenfassung

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,4 +1,18 @@
1	1	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
	2	+[[image:LoesungRechteckimGraphen.png||width="250" style="float:left"]]
	3	+<br>
	4	+<br>
	5	+<br>
	6	+<br>
	7	+<br>
	8	+<br>
	9	+<br>
	10	+<br>
	11	+<br>
	12	+<br>
	13	+<br>
	14	+<br>
	15	+<br>
2	2	{{formula}}f^\prime\left(x\right)=3x^2-4ax+a^2{{/formula}}
3	3	<br>
4	4	Die Steigung von h beträgt
...	...	@@ -15,3 +15,49 @@
15	15	{{formula}}\left|h\left(a\right)\right|\cdot a=\frac{1}{a}\cdot a=1{{/formula}}
16	16
17	17	{{/detail}}
	32	+
	33	+
	34	+{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	35	+Das Rechteck geht vom Ursprung nach rechts bis zur zweiten Nullstelle (Berührstelle) von <i>G</i> und von dort nach unten bis zur Geraden {{formula}}h{{/formula}}, da die Diagonale des Rechtecks auf {{formula}}h{{/formula}} liegen soll.
	36	+<br>
	37	+<br>
	38	+Die Breite des Rechtecks ist der Abstand der beiden Nullstellen von {{formula}}f{{/formula}}:
	39	+<br>
	40	+{{formula}}f\left(x\right)=0{{/formula}}
	41	+<br>
	42	+{{formula}}x^3-2ax^2+a^2x=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x\left(x^2-2ax+a^2\right)=0{{/formula}}
	43	+<br>
	44	+Zweite Binomische Formel:
	45	+<br>
	46	+{{formula}}x\left(x-a\right)^2=0{{/formula}}
	47	+<br>
	48	+Satz vom Nullprodukt:
	49	+<br>
	50	+{{formula}}x=0 \ \vee \ x=a{{/formula}}
	51	+<br>
	52	+Die Breite des Rechtecks ist folglich {{formula}}\left|a\right| {{/formula}}(Betrag von {{formula}}a{{/formula}}, da {{formula}}a{{/formula}} auch negativ sein kann, die Breite des Rechtecks jedoch nicht.)
	53	+<br>
	54	+<br>
	55	+Für die noch fehlende Höhe des Rechtecks benötigen wir die Gleichung von {{formula}}h{{/formula}}:
	56	+<br>
	57	+{{formula}}f^\prime\left(x\right)=3x^2-4ax+a^2{{/formula}}
	58	+<br>
	59	+Steigung der Tangente an //G// im Ursprung:
	60	+{{formula}}f^\prime\left(0\right)=a^2{{/formula}}
	61	+<br>
	62	+Da die Gerade {{formula}}h{{/formula}} senkrecht auf dieser Tangente steht, ist die Steigung von {{formula}}h{{/formula}}:
	63	+{{formula}}m=-\frac{1}{f^\prime\left(0\right)}=-\frac{1}{a^2}{{/formula}}
	64	+<br>
	65	+Da {{formula}}h{{/formula}} eine Ursprungsgerade ist, lautet ihre Gleichung:
	66	+<br>
	67	+{{formula}}h\left(x\right)=-\frac{1}{a^2}x{{/formula}}
	68	+<br>
	69	+Um die Höhe des Rechtecks zu berechnen, setzen wir die zweite Nullstelle {{formula}}x=a{{/formula}} in die Gleichung von {{formula}}h{{/formula}} ein:
	70	+{{formula}}h\left(a\right)=-\frac{1}{a^2}a=-\frac{1}{a}{{/formula}}
	71	+<br>
	72	+Die Höhe ist folglich
	73	+{{formula}}\left|-\frac{1}{a}\right|{{/formula}}
	74	+<br>
	75	+Der Flächeninhalt ergibt sich also zu {{formula}}\left|a\right|\cdot\left|-\frac{1}{a}\right|=a\cdot\frac{1}{a}=1{{/formula}}
	76	+was unabhängig von {{formula}}a{{/formula}} ist (was zu beweisen war).
	77	+{{/detail}}