Änderungen von Dokument Lösung Rechteck im Graphen
Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/13 20:22
Zusammenfassung
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Details
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... ... @@ -1,18 +1,4 @@ 1 1 {{detail summary="Erwartungshorizont"}} 2 -[[image:LoesungRechteckimGraphen.png||width="250" style="float:left"]] 3 -<br> 4 -<br> 5 -<br> 6 -<br> 7 -<br> 8 -<br> 9 -<br> 10 -<br> 11 -<br> 12 -<br> 13 -<br> 14 -<br> 15 -<br> 16 16 {{formula}}f^\prime\left(x\right)=3x^2-4ax+a^2{{/formula}} 17 17 <br> 18 18 Die Steigung von h beträgt ... ... @@ -29,46 +29,3 @@ 29 29 {{formula}}\left|h\left(a\right)\right|\cdot a=\frac{1}{a}\cdot a=1{{/formula}} 30 30 31 31 {{/detail}} 32 - 33 - 34 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 35 -Das Rechteck geht vom Ursprung nach rechts bis zur zweiten Nullstelle (Berührstelle) von <i>G</i> und von dort nach unten bis zur Geraden {{formula}}h{{/formula}}, da die Diagonale des Rechtecks auf {{formula}}h{{/formula}} liegen soll. 36 -<br> 37 -<br> 38 -Die Breite des Rechtecks ist der Abstand der beiden Nullstellen von {{formula}}f{{/formula}}: 39 -<br> 40 -{{formula}}f\left(x\right)=0{{/formula}} 41 -<br> 42 -{{formula}}x^3-2ax^2+a^2x=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x\left(x^2-2ax+a^2\right)=0{{/formula}} 43 -<br> 44 -Zweite Binomische Formel: 45 -<br> 46 -{{formula}}x\left(x-a\right)^2=0{{/formula}} 47 -<br> 48 -Satz vom Nullprodukt: 49 -<br> 50 -{{formula}}x=0 \ \vee \ x=a{{/formula}} 51 -<br> 52 -Die Breite des Rechtecks ist folglich {{formula}}\left|a\right| {{/formula}}(Betrag von {{formula}}a{{/formula}}, da {{formula}}a{{/formula}} auch negativ sein kann, die Breite des Rechtecks jedoch nicht.) 53 -<br> 54 -<br> 55 -Für die noch fehlende Höhe des Rechtecks benötigen wir die Gleichung von {{formula}}h{{/formula}}: 56 -<br> 57 -{{formula}}f^\prime\left(x\right)=3x^2-4ax+a^2{{/formula}} 58 -<br> 59 -Steigung der Tangente an //G// im Ursprung: 60 -{{formula}}f^\prime\left(0\right)=a^2{{/formula}} 61 -Da die Gerade {{formula}}h{{/formula}} senkrecht auf dieser Tangente steht, ist die Steigung von {{formula}}h{{/formula}}: 62 -{{formula}}m=-\frac{1}{f^\prime\left(0\right)}=-\frac{1}{a^2}{{/formula}} 63 -Da {{formula}}h{{/formula}} eine Ursprungsgerade ist, lautet ihre Gleichung: 64 -<br> 65 -{{formula}}h\left(x\right)=-\frac{1}{a^2}x{{/formula}} 66 -<br> 67 -Um die Höhe des Rechtecks zu berechnen, setzen wir die zweite Nullstelle {{formula}}x=a{{/formula}} in die Gleichung von {{formula}}h{{/formula}} ein: 68 -{{formula}}h\left(a\right)=-\frac{1}{a^2}a=-\frac{1}{a}{{/formula}} 69 -Die Höhe ist folglich 70 -{{formula}}\left|-\frac{1}{a}\right|{{/formula}} 71 -<br> 72 -Der Flächeninhalt ergibt sich also zu {{formula}}\left|a\right|\cdot\left|-\frac{1}{a}\right|=a\cdot\frac{1}{a}=1{{/formula}} 73 -was unabhängig von {{formula}}a{{/formula}} ist (was zu beweisen war). 74 -{{/detail}}