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Tipp Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/24 15:24

Teilaufgabe a)

Hinweis 1 Erstelle zuerst ein Koordinatensystem. Beachte dabei, dass der Projektionswinkel und die Skalierung dem Standard entsprechen. Ergänze die Beschriftung der Achsen.
Hinweis 2 Nachdem die gegebenen Punkte eingezeichnet sind, können die fehlenden Punkt \(D,E\) und \(H\) durch Symmetrieüberlegungen oder mit Hilfe von Parallelverschiebungen ermittelt werden.

Teilaufgabe b)

Hinweis 1 Du benötigst den Flächeninhalt der gesamte Glasfläche, also die Summe aller Einzelflächen.
Der Boden ist nicht aus Glas.
Hinweis 2 Die Länge der Seite \(FI\) kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden.

Teilaufgabe c)

Hinweis 1 Der Neigungswinkel ist der Winkel zwischen dem Vektor \(\overrightarrow{JG}\) und dem Erdboden, also der \(x_1x_2\)-Ebene.
Hinweis 2

Es gibt zwei Möglichkeiten, den Winkel zwischen einem Vektor und einer Koordinatenebene zu ermitteln:

Option 1:

Man bildet den in die \(x_1x_2\)-Koordinatenebene projizierten Vektor (indem man die \(x_3\)-Koordinate des Vektors Null setzt) und berechnet anschließend den Winkel zwischen dem ursprünglichen Vektor \(\overrightarrow{JG}\) und dem projizierten Vektor \(\overrightarrow{JG_p}\) mit Hilfe des (inversen) Kosinus (siehe Merkhilfe).

Option 2:
Man berechnet den Winkel zwischen dem Vektor \(\overrightarrow{JG}\) und dem Normalenvektor der \(x_1x_2\)-Ebene und zieht das Ergebnis anschließend von 90° ab.
Manchmal sieht man auch eine Formel für den Winkel zwischen Vektor (bzw. Gerade) und Ebene, in der der Sinus vorkommt. Der Sinus führt dazu, dass man anschließend nicht mehr von 90° subtrahieren muss.

Teilaufgabe d)

Hinweis 1 Es ist sinnvoll, zuerst eine Ebenengleichung der Ebene aufzustellen, in der das Sonnensegel liegt.
Hinweis 2 Da der Baumstumpf im Punkte \((3|3|0)\) steht, muss die \(x_2\)-Koordinate desjenigen Punktes, der auf der Ebene liegt und sich vertikal über dem Baumstumpf befindet, den Wert 3 haben.
Hinweis 3 Die \(x_3\)-Koordinate des Punktes auf der Ebene des Sonnensegels, der vertikal über dem Baumstumpf liegt, ist die Höhe des Sonnensegels an der Stelle des Baumstumpfes.

Teilaufgabe e)

Hinweis Gleichschenklig bedeutet, dass mindestens zwei von drei Seiten gleichlang sind. Mit Hilfe der Beträge der Verbindungsvektoren der Eckpunkte können die Seitenlängen berechnet und verglichen werden.

Teilaufgabe f)

Hinweis 1 Die Länge der Seite \(FP_k\) des neuen Dreiecks \(FGP_k\) kann mit Hilfe des Betrags des Verbindungsvektors zwischen den Punkten \(F\) und \(P_k\) ermittelt werden.
Hinweis 2 Den Betrag dieses Verbindungsvektors kann man mit der Länge der Seite \(GF\) gleichsetzen und die resultierende Gleichung nach \(k\) auflösen.
Hinweis 3 Eine der beiden Lösungen für \(k\) ist aufgrund des Sachzusammenhangs irrelevant.

Teilaufgabe g)

Hinweis 1 Man kann beide Seiten der Gleichung als Beträge von Verbindungsvektoren auffassen.
Hinweis 2 Die Spitze der Verbindungsvektoren ist identisch, nämlich \(T(t|4|3)\). Die Füße der Verbindungsvektoren sind Punkte, die in der Aufgabe vorkommen.