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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/31 23:45
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -95,30 +95,6 @@
95 95  [[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
96 96  {{/detail}}
97 97  
98 -
99 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
100 -//Aufgabenstellung//
101 -<br><p>
102 -Berechne die Koordinaten der Spurpunkte von {{formula}}E{{/formula}}.
103 -<br>
104 -Stelle die Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit Hilfe der Spurpunkte in einem räumlichen Koordinatensystem dar.
105 -</p>
106 -//Lösung//
107 -<br>
108 -Die Spurpunkte einer Ebene sind die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen mit dieser Ebene, also diejenigen Punkte auf der Ebene, die gleichzeitig auch auf einer der Achsen liegen.
109 -Zwei der drei Koordinaten eines Spurpunkts sind immer Null. Setzt man zwei Koordinaten in der Ebenengleichung auf Null, kann man die dritte Koordinate ermitteln.
110 -<br>
111 -Spurpunkte:
112 -<br>
113 -{{formula}}S_1: x_2=x_3=0 \ \rightarrow \ x_1=3; \ S_1(3|0|0){{/formula}}
114 -<br>
115 -{{formula}}S_2: x_1=x_3=0 \ \rightarrow \ x_2=3; \ S_2 (0|3|0){{/formula}}
116 -<br>
117 -{{formula}}S_3: x_1=x_2=0 \ \rightarrow \ x_3=6; \ S_3 (0|0|6){{/formula}}
118 -Zeichnet man die drei Spurpunkte in ein Koordinatensystem und verbindet sie, so repräsentiert das sich ergebende Dreieck die Ebene.
119 -[[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
120 -{{/detail}}
121 -
122 122  === Teilaufgabe d) ===
123 123  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
124 124  Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B{{/formula}}, dieser liegt in {{formula}}E: 2\cdot (-1)+2\cdot 2+4=6{{/formula}}
... ... @@ -130,37 +130,6 @@
130 130  Mit {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}{{/formula}} ist {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}.
131 131  {{/detail}}
132 132  
133 -
134 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
135 -//Aufgabenstellung//
136 -<br><p>
137 -Zeige, dass ein weiterer Eckpunkt des Quadrats die Koordinaten {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} hat.
138 -<br>
139 -Berechne die Koordinaten des vierten Eckpunktes {{formula}}D{{/formula}}.
140 -</p>
141 -//Lösung//
142 -<br>
143 -Wir zeigen zuerst, dass der weitere Eckpunkt {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} in der Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegt.
144 -<br>
145 -{{formula}}E: 2\cdot(-1)+2\cdot 2+4=6 \quad (w){{/formula}}
146 -<br><p>
147 -Da die Punktprobe eine wahre Aussage ergibt, liegt der Punkt in der Ebene.
148 -</p>
149 -Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B(-1|2|4){{/formula}}. Zum einen muss gelten, dass die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt {{formula}}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss |(AB) ⃗ |=|(BC) ⃗ | gelten.
150 -<br>
151 -{{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0{{/formula}}
152 -<br>
153 -{{formula}}|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18} ; \ |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{3^2+(-3)^2+0^2}=\sqrt{18}{{/formula}}
154 -<br><p>
155 -Damit sind {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sowohl orthogonal als auch gleich lang, also sind sie Seiten eines in {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats.
156 -</p>
157 -Der fehlende Punkt {{formula}}D{{/formula}} kann ermittelt werden, indem zum Ortsvektor einer Ecke des Quadrats der Verbindungsvektor der gegenüberliegenden Seite addiert wird (was anhand einer Skizze veranschaulicht werden kann).
158 -<br>
159 -{{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}=\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right) +\left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}3\\0\\0\end{matrix}\right) {{/formula}}
160 -<br>
161 -Der fehlende Eckpunkt des Quadrats ist also {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}.
162 -{{/detail}}
163 -
164 164  === Teilaufgabe e) ===
165 165  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
166 166  Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right){{/formula}}; also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}
... ... @@ -170,33 +170,6 @@
170 170  Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM} \pm 4\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9|9|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7|-7|-2){{/formula}}.
171 171  {{/detail}}
172 172  
173 -
174 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
175 -//Aufgabenstellung//
176 -<br><p>
177 -Bestimme die Koordinaten einer möglichen Spitze der Pyramide, sodass diese die Höhe 12 hat.
178 -</p>
179 -//Lösung//
180 -<br>
181 -Zuerst wird der Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Grundfläche, also des Quadrats benötigt; er ist zugleich Mittelpunkt der Diagonalen {{formula}}AC{{/formula}}. (Die Formel für die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke findet sich in der Merkhilfe.)
182 -<br>
183 -Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right);{{/formula}} also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}
184 -<br>
185 -Die Spitze der Pyramide ist vom Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} 12 Längeneinheiten in Richtung des Normalenvektors entfernt.
186 -<br>
187 -Der Normalenvektor der Ebene ist gegeben durch die Koeffizienten der Koordinatenform der Ebenengleichung.
188 -<br>
189 -Normalenvektor von {{formula}}E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}}
190 -<br>
191 -Addiert (oder subtrahiert) man zum Ortsvektor von {{formula}}M{{/formula}} zwölfmal den Einheitsvektor von {{formula}}\vec{n}{{/formula}}, so erhält man den Ortsvekor der Spitze.
192 -<br>
193 -Der Einheitsvektor eines Vektors ist der Vektor dividiert durch seinen Betrag.
194 -<br>
195 -{{formula}}|\vec{n}|=3; \ \vec{n}=\frac{1}{3}\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}}
196 -<br>
197 -Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}\pm 12\cdot \frac{1}{3}\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9|9|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7|-7|-2){{/formula}}.
198 -{{/detail}}
199 -
200 200  === Teilaufgabe f) ===
201 201  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
202 202  Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.
... ... @@ -205,28 +205,3 @@
205 205  <br>
206 206  {{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.
207 207  {{/detail}}
208 -
209 -
210 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
211 -//Aufgabenstellung//
212 -<br><p>
213 -Begründe, dass der Schattenpunkt {{formula}}R^\prime{{/formula}} außerhalb der Grundfläche der Pyramide liegt.
214 -<br>
215 -Berechne die Koordinaten der Spitze {{formula}}R{{/formula}}.
216 -</p>
217 -//Lösung//
218 -<br><p>
219 -Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.
220 -</p>
221 -Da die weitere Pyramide ebenfalls gerade ist, liegt die Spitze {{formula}}R{{/formula}} auch auf der Geraden durch {{formula}}M{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}}.
222 -<br>
223 -Die Spitze {{formula}}R{{/formula}} muss zudem auf einer Geraden liegen, die {{formula}}R^\prime{{/formula}} als Stützpunkt hat und parallel zur {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse verläuft (denn aus dieser Richtung wird die Pyramide beleuchtet).
224 -<br>
225 -Die beiden Geraden, auf der {{formula}}R{{/formula}} liegen muss, haben die Gleichungen:
226 -<br>
227 -{{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}}
228 -<br>
229 -{{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.
230 -
231 -{{/detail}}
232 -
LösungB3.2.png
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1 +XWiki.akukin
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