2025 gAN - Teil B - Analysis - Aufgabensatz II

Aufgabe 1  Analysis

1.1  Gegeben ist die in \( \mathbb{R} \) definierte Funktion \( g \) durch \( g(x)=(x+2)^{2}\cdot(x-2)^{2} \). Der Graph von \( g \) ist \( K_{g} \). 

1. [3 BE] Nenne drei Argumente, warum es sich beim dargestellten Graphen um \( K_{g} \) handeln kann.

Der Graph \( K_{f} \) der Funktion \( f \) mit \( f(x)=\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+2 \) geht aus \( K_{g} \) durch Streckung in \( y \)-Richtung mit dem Faktor \( a \) hervor. 

2. [1 BE] Gib den Wert von \( a \) an.
3. [3 BE] Bestimme eine Gleichung der Parabel (zweiten Grades), die durch alle Extrempunkte von \( K_{f} \) verläuft.

1.2  Gegeben ist die Funktion \( h \) mit \( h(x)=4\cdot \cos(x)+4 \). Ihr Graph ist \( K_{h} \).

1. [3 BE] Zeichne \( K_{h} \) im Bereich \( -\pi\le x\le\pi \).
2. [3 BE] Zeige, dass die Gerade \( t \) mit der Gleichung \( y=-4x+2\pi+4 \) eine Tangente an den Graphen \( K_{h} \) im Punkt \( P(\frac{\pi}{2}|4) \) ist.
3. [5 BE] Die Tangente im Kurvenpunkt \( P(u|h(u)) \), \( 0\le u\le\pi \) schneidet die \( y \)-Achse im Punkt \( S \). Bestimme denjenigen Wert, den die y-Koordinate von \( S \) maximal annehmen kann.

1.3  Ein Notizzettel hat die Maße \( 9 \times 9\text{ cm} \). Von diesem Notizzettel wird nun immer wieder ein Stück abgeschnitten, sodass sich der Flächeninhalt \( A \) des verbleibenden Stücks mit jedem Schnitt halbiert.

1. [3 BE] Zeige, dass sich der nach \( n \) Schnitten verbleibende Flächeninhalt des Notizzettels in \( \text{cm}^{2} \) durch die Funktion \( A \) mit \( A(n)=81\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}; \ n\in\mathbb{N} \) beschreiben lässt.
2. [4 BE] Berechne, wie oft man ein Stück des Notizzettels abschneiden muss, bis das verbleibende Stück erstmals einen Flächeninhalt von weniger als einem hundertstel Quadratzentimeter hat.