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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -21,7 +21,7 @@
21 21  
22 22  
23 23  //Durchführung: //
24 -**1. mögliche Strategie:** Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen.
24 +1. mögliche Strategie: Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen.
25 25  
26 26  [[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
27 27  Im ersten Beispiel sieht man, dass von jeder Ecke des 5-Ecks aus 2
... ... @@ -38,82 +38,19 @@
38 38  54 : 2 = 27.
39 39  Das 9-Eck besitzt 27 Diagonalen
40 40  
41 +Übertragung auf den allgemeinen Fall, das n-Eck:
42 +Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen
43 +von einer Ecke wegführen? Da nur die
44 +Verbindungsstrecke zweier nicht
45 +benachbarter Punkte Diagonale genannt
46 +wird, kommen bei n Ecken, die betreffende
47 +Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken
48 +nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann nur mit (n
49 +– 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden
50 +werden. Rechnet man 𝑛 ∙ (𝑛 − 3), so
51 +berücksichtigt man wiederum alle
52 +Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel
53 +muss also 𝑛∙(𝑛−3)
54 +2
55 +lauten.
41 41  
42 -
43 -
44 -Übertragung auf den allgemeinen Fall, das //n//-Eck:
45 -[[image:5-Eckund9-Eck2.PNG||width="250" style="float: left"]]
46 -Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen von einer Ecke wegführen?
47 -
48 -Da nur die Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Punkte Diagonale genannt wird, kommen bei //n// Ecken, die betreffende Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann
49 -nur mit (//n//– 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden werden.
50 -
51 -
52 -Rechnet man {{formula}}n \cdot (n-3) {{/formula}}, so berücksichtigt man wiederum alle
53 -Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel muss also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} lauten.
54 -
55 -
56 -
57 -
58 -
59 -
60 -
61 -//Reflexion/Kontrolle: //
62 -Überprüfung für //n// = 5 und //n// = 9:
63 -{{formula}}\frac{5 \cdot (5-3)}{2} = 5 {{/formula}} stimmt,
64 -{{formula}}\frac{9 \cdot (9-3)}{2} = 27 {{/formula}} stimmt.
65 -
66 -Ein //n//-Eck besitzt also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} Diagonalen.
67 -
68 -**2. mögliche Strategie:** An einer Ecke beginnen zu zählen, an den weiteren Ecken nur noch die noch nicht berücksichtigten Ecken zählen
69 -
70 -**5-Eck:** links oben mit den roten Diagonalen beginnend:
71 -[[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
72 -
73 -2 rote Diagonalen + 2 lila Diagonalen + 1 orange Diagonale = 5 Diagonalen insgesamt
74 -
75 -
76 -
77 -
78 -
79 -9-Eck: links oben mit den roten Diagonalen beginnend:
80 -
81 -[[image:9-Eck2.PNG||width="140" style="float: left"]]
82 -
83 -6 rote Diagonalen + 6 lila Diagonalen + 5 orange
84 -Diagonalen + 4 grasgrüne Diagonalen + 3 rosa Diagonalen
85 -+ 2 gelbe Diagonalen + 1 hellgrüne Diagonale = 27
86 -Diagonalen insgesamt
87 -
88 -
89 -
90 -Verallgemeinerung **//n//-Eck**: an einer beliebigen Ecke beginnend:
91 -(n–3) Diagonalen gehen von der 1. Ecke ab.
92 -(n–3) weitere Diagonalen gehen auch von der Ecke daneben, der 2. ab.
93 -(n–4) weitere Diagonalen gehen von der 3. Ecke ab.
94 -(n–5) weitere Diagonalen gehen von der 4. Ecke ab.
95 -...
96 -2 weitere Diagonalen gehen von der 4.letzten Ecke ab.
97 -1 weitere Diagonale geht von der 3.letzten Ecke ab.
98 -Alle Diagonalen, die von der vorletzten und der letzten Ecke abgehen, wurden bereits berücksichtig.
99 -
100 -Im //n//-Eck gibt es also 1 + 2 + 3 + ... + (n – 4) + 2⋅(n – 3) Diagonalen.
101 -
102 -{{lehrende}}
103 -//Anmerkung: //
104 -Hier kann nicht davon ausgegangen werden, dass die Schüler*innen aus dieser Darstellung zur
105 -allgemeinen Formel kommen (nicht im Lehrplan)
106 -{{formula}}
107 -\begin{align}
108 -&1+2+3+ \dots + (n-4) + 2 \cdot (n-3) = \\
109 -&(1+2+3+ \dots + (n-4) + (n-3)) + (n-3) = \\
110 -&\frac{(n-3)(n-2)}{2}+\frac{2(n-3)}{2} =\\
111 -&\frac{(n-3)((n-2)+2)}{2} =\\
112 -& \frac{(n-3)\cdot n}{2}
113 -\end{align}
114 -{{/formula}}
115 -{{/lehrende}}
116 -
117 -//Reflexion/Kontrolle: //
118 -Die Formel ist korrekt für 5-Eck und 9-Eck (siehe oben). Für das 6 Eck gib es demnach 1 + 2 + 3 + 3 =
119 -9 Diagonalen. Dies lässt sich einfach durch Abzählen verifizieren.
5-Eckund9-Eck2.PNG
Author
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1 -XWiki.akukin
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Inhalt
9-Eck2.PNG
Author
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1 -XWiki.akukin
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Inhalt
9-EckKontrolle.PNG
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1 +XWiki.akukin
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