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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,6 +1,6 @@
1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
3		-{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
	3	+{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
4	4	(% class="abc" %)
5	5	1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
6	6	(% class="border slim" %)
...	...	@@ -22,49 +22,45 @@
22	22	)))
23	23	{{/aufgabe}}
24	24
25		-{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
	25	+{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
26	26	In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
27		-(% class="border" %)
28		-|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
	27	+(% class="border slim" %)
29	29	|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
	29	+|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
30	30	|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
31	31	|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
32	32
33		-Es gelten folgende Beziehungen zwischen den Parametern, wobei der übersichtlicheren Notation wegen die Bezeichnung {{formula}}}y_S^*=\frac{y_S^*}{a}{{/formula}} verwendet wurde.
	33	+Die //Normalparabel// ist Funktionsgraph der quadratischen Potenzfunktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}}. Die kanonischen //Transformationen// (Spiegelung, Streckung, Verschiebung jeweils bezogen auf die orientierten Koordinatenachsen; vgl. Merkhilfe, S. 4) der Normalparabel liefern weitere Parabeln als Funktionsgraphen mit Parabelgleichungen in //Scheitelform//. Ausmultiplizieren liefert die zugehörige //Hauptform//, das ist zumeist eine Linearkombination der drei Potenzfunktionen vom Grad {{formula}}\le 2{{/formula}}: die konstante Funktion mit {{formula}}y=1{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 0), proportionale Funktion mit {{formula}}y=x{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 1) und quadratische Funktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 2). Der Darstellungswechsel zur //Produktform// ist schwieriger, aber auf verschiedene Weisen zugänglich. Wir folgen hier dem Darstellungswechsel nach //Po-Shen Loh//.
34	34
35		-(% class="border" %)
36		-|Nr. |Von |Zu |Beziehungen
37		-|1 |Scheitelform |pq-Form |{{formula}}p = -2x_S, \, q = x_S^2 + y_S^*{{/formula}}
38		-|2 |pq-Form |Scheitelform |{{formula}}x_S = -\frac{p}{2}, \, y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q{{/formula}}
39		-|3 |Scheitelform |Produktform |{{formula}}x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}, \, x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*}{{/formula}}
40		-|4 |pq-Form |Produktform |{{formula}}x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}, \, x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}}
41		-|5 |Produktform |pq-Form |{{formula}}p = -(x_1 + x_2), \, q = x_1 x_2{{/formula}}
42		-|6 |Produktform |Scheitelform |{{formula}}x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}, \, y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4}{{/formula}}
	35	+//Verfahren statt Formel (Teil 1)//. Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
	36	+(% class="border slim" %)
	37	+|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
43	43
44		-(% class="abc" %)
45		-1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die //Produktform//. Folge in Vorgehen und Darstellung obigen Beispielen (dem konkreten und dem allgemeinen).
	39	+//Verfahren statt Formel (Teil 2)//. In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
46	46	(% class="border slim" %)
47		-|Nr. |Hauptform |Scheitelform |Produktform
48		-|1 |{{formula}}y = x^2 - 4x + 3{{/formula}} |{{formula}}y = (x - 2)^2 - 1{{/formula}} |{{formula}}y = (x - 1)(x - 3){{/formula}}
49		-|2 | |{{formula}}y = (x - 1)^2 + 4{{/formula}} |{{formula}}y = (x - (1 + 2i))(x - (1 - 2i)){{/formula}}
50		-|3 | |{{formula}}y = (x + 2)^2{{/formula}} |{{formula}}y = (x + 2)(x + 2){{/formula}}
51		-|4 |{{formula}}y = 2x^2 - 8x + 6{{/formula}} |{{formula}}y = 2(x - 2)^2 - 2{{/formula}} |{{formula}}y = 2(x - 1)(x - 3){{/formula}}
52		-|5 | |{{formula}}y = (x + 3)^2 - 9{{/formula}} |{{formula}}y = (x + 6)(x){{/formula}}
53		-|6 | |{{formula}}y = (x - 3)^2 - 1{{/formula}} |{{formula}}y = (x - 4)(x - 2){{/formula}}
54		-|7 |{{formula}}y = x^2 + 2x + 5{{/formula}} |{{formula}}y = (x + 1)^2 + 4{{/formula}} |{{formula}}y = (x + (1 + 2i))(x + (1 - 2i)){{/formula}}
55		-|8 | |{{formula}}y = (x - 2)^2{{/formula}} |{{formula}}y = (x - 2)(x - 2){{/formula}}
56		-|9 |{{formula}}y = x^2 - 5x + 6{{/formula}} |{{formula}}y = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}{{/formula}} |{{formula}}y = (x - 2)(x - 3){{/formula}}
	41	+|{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] | [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}}
57	57
	43	+//Anmerkung//. Der Kern des Verfahrens ist die Symmetrisierung: Die //zwei// Nullstellen weichen nämlich von der Hälfte ihrer Summe (das ist die x-Koordinate {{formula}}x_S{{/formula}} des Scheitels) um den gleichen Wert {{formula}}u{{/formula}} (das ist die Diskriminante, an der sich die Lösbarkeit der Gleichung erkennen lässt) nach oben bzw. unten ab. Ausgehend von ihrem Produkt lässt sich diese //eine// Abweichung {{formula}}u{{/formula}} infolge der dritten binomischen Formel als Lösung einer //rein-quadratischen// Gleichung ermitteln.
	44	+
	45	+(% class="abc" %)
	46	+1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die //Produktform//.
	47	+1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
	48	+1. {{formula}}y=x^2-14x+22{{/formula}}
	49	+1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
	50	+1. {{formula}}y=x^2-8x+13{{/formula}}
	51	+1. {{formula}}y=x^2+6x-4{{/formula}}
	52	+1. {{formula}}y=2x^2-4x-5 {{/formula}}
58	58
59	59	)))
	55	+1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
	56	+//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
60	60	1. (((Begründe, dass gilt:
61		-i. {{formula}}\frac{b}{a}=p{{/formula}} und {{formula}}\frac{c}{a}=q{{/formula}}
62		-ii. {{formula}}2x_S=x_1+x_2=-p{{/formula}} und {{formula}}x_1\cdot x_2=q{{/formula}}
63		-iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-p}{2}{{/formula}} und {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}}
	58	+i. {{formula}}x_S=\frac{p}{2}{{/formula}}
	59	+ii. {{formula}}x_S=\frac{b}{2a}{{/formula}}
	60	+iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}{{/formula}}
	61	+iv. {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}}
64	64	)))
65	65	1. Ermittle zu den in a) gegebenen Hauptformen der Parabelgleichungen die Scheitelformen.
66		-1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
67		-//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
68	68	{{/aufgabe}}
69	69
70	70	{{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}