BPE 2.1 Funktionstypen und deren Eigenschaften

1  Erkunden (Paar von Potenzfunktionen) - Wertetabelle  (7 min) 𝕃

1. Ergänze für die Funktionsgleichung \(f(x)=x^2\) folgende Wertetabelle (wo möglich).

   \(x\)	-1		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   \(f(x)\)		-1												400	900	1600	2500	3600	4900	6400	8100	10000

2. Ergänze für die Funktionsgleichung \(g(x)=x^{1/2}\) folgende Wertetabelle (wo möglich).

   \(x\)	-1		0	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
   \(g(x)\)		-1												20	30	40	50	60	70	80	90	100

3. Erkennst du eine Symmetrie?
4. Beschreibe das Randverhalten der Funktionen und nenne ihre Wertemengen.

2  Erkunden (eine Potenzfunktion) - Wertetabelle  (9 min) 𝕃

Untersuche die Funktion f mit \(f(x)=\frac{1}{x}\) und Definitionsbereich \(\mathbb{R}^*\) im Hinblick auf ihr Randverhalten und ihre Wertemenge. Ergänze dafür zunächst folgende Wertetabellen (wo möglich).

1. Randverhalten: Verhalten im Unendlichen
   1) Verhalten gegen plus Unendlich (\(+\infty\))

   \(x\)	\(+1\)	\(+10\)	\(+100\)	\(+1000\)	\(+10^6\)	\(+10^9\)	\(+10^{12}\)
   \(f(x)\)								0

   2) Verhalten gegen minus Unendlich (\(-\infty\))

   \(x\)	\(-1\)	\(-10\)	\(-100\)	\(-1000\)	\(-10^6\)	\(-10^9\)	\(-10^{12}\)
   \(f(x)\)								0

2. Randverhalten: Verhalten nahe der Definitionslücke (\(x \approx 0\))
   1) Verhalten links bei der Definitionslücke (\(x \approx 0\) mit \(x<0\))

   \(x\)	\(-1\)	\(-0,1\)	\(-0,01\)	\(-0,001\)	\(-10^{-6}\)	\(-10^{-9}\)	\(-10^{-12}\)	0
   \(f(x)\)

   2) Verhalten rechts bei der Definitionslücke (\(x \approx 0\) mit \(x>0\))

   \(x\)	\(+1\)	\(+0,1\)	\(+0,01\)	\(+0,001\)	\(+10^{-6}\)	\(+10^{-9}\)	\(+10^{-12}\)	0
   \(f(x)\)

3. Erkennst du eine Symmetrie?
4. Beschreibe das Randverhalten der Funktion und nenne ihre Wertemenge.

3  Erkunden - Graph und Asymptoten (gerader Parameter)  (12 min) 𝕃

Gegeben sind drei Funktionsgleichungen \(f(x)=x^2\), \(g(x)=x^{1/2}\) und \(h(x)=x^{-2}\).

1. Gib jeweils den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an.
2. Skizziere jeweils den Graphen der Funktion ggf. mit Asymptoten; benutze dafür ein gemeinsames Koordinatensystem, dessen x-Achse von \([-3; +3]\) geht.
3. Erkennst du bei einem Graphen bzw. zwischen zwei Graphen eine Symmetrie?

4  Erkunden - Graph und Asymptoten (ungerader Parameter)  (12 min) 𝕃

Gegeben sind drei Funktionsgleichungen \(f(x)=x^3\), \(g(x)=x^{1/3}\) und \(h(x)=x^{-3}\).

1. Gib jeweils den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an.
2. Skizziere jeweils die Graphen der Funktionen ggf. mit ihren Asymptoten; benutze dafür ein gemeinsames Koordinatensystem, dessen x- und y-Achse jeweils von \([-8; +8]\) geht.
3. Erkennst du bei einem Graphen bzw. zwischen zwei Graphen eine Symmetrie?

5  Abbildungsketten  (10 min) 𝕃

1. Gegeben seien die Funktionen f und g mit \(f(x) = x^2\) und \(g(x) = \sqrt{x}\). Fülle jeweils die Lücken aus:

   \(+2\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square\) \(-2\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square\) \(+4\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square\) \(-4\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square\) \(\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}4\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square\) \(-3\mathop{\longmapsto}\limits^{\square}9\mathop{\longmapsto}\limits^{\square}-3\)

   Lassen sich alle Kästchen befüllen? Ist es immer eindeutig, welche Zahlen in die Kästchen geschrieben werden können? \(\emph{Rückblick:}\) Gib für die Gleichung \(x^2=y_0\) die Anzahl an Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter \(y_0\) an.

2. Seien die Funktionen f und g nun definiert durch \(f(x) = x^3\) und \(g(x) = \sqrt[3]{x}\).

   \(+2\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square\) \(-2\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square\) \(+8\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square\) \(-8\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square\) \(\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}-27\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square\) \(-2\mathop{\longmapsto}\limits^{\square}8\mathop{\longmapsto}\limits^{\square}2\)

   Lassen sich hier alle Kästchen befüllen? Ist es hier nun eindeutig, welche Zahlen in die Kästchen geschrieben werden können? \(\emph{Rückblick:}\) Gib für die Gleichung \(x^3=y_0\) die Anzahl an Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter \(y_0\) an.

6  D und W  (8 min) 𝕃

Gib jeweils den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an und skizziere die Graphen der Funktionen ggf. mit ihren Asymptoten:

1. \(f(x)=\frac{1}{x-2}+1\)
2. \(g(x)=\sqrt{x+2}-1\)

7  Symmetrie nachweisen  (5 min) 𝕃

Untersuche die folgenden Funktionen (jeweils maximaler Definitionsbereich) rechnerisch auf Symmetrie zum Ursprung und Symmetrie zur y-Achse.

1. \(f(x)=\frac{5}{x}\)
2. \(f(x)=\frac{5}{x}+1\)
3. \(f(x)=\frac{5}{x^2}\)
4. \(f(x)=\frac{5}{x^2}+1\)

8  Venn - Eigenschaften  (8 min) 𝕃

Gib für jedes Feld A .. H eine passende Funktion \(f(x)=a\cdot x^n\) an. Sollte ein Feld nicht gefüllt werden können, begründe bitte, warum es nicht geht.

Zusatzaufgabe: Finde möglichst einfache/ komplexe Lösungen.

#problemlösen

9  Stetigkeit - Anschauliche Einführung  (3 min) 𝕃

Sascha behauptet, die Funktion f mit \(f(x) = \frac{1}{x}\) sei auf ihrem maximalen Definitionsbereich nicht stetig, weil man ihren Graphen nicht ohne Absetzen zeichnen kann. Nimm dazu Stellung!

10  Stetigkeitsbetrachtungen  (5 min) 𝕃

Beurteile für jedes Schaubild, ob der Graph zu einer (zusammengesetzten) Funktion gehören kann und ob diese im dargestellten Bereich stetig ist!
 Hinweis:
⬤ schließt den Punkt ein
⭘ schließt ihn aus

11  Umkehrung  (7 min) 𝕃

Sascha formuliert die beiden nachfolgenden Behauptungen. Nimm dazu Stellung!

1. Die Funktion f mit \(f(x) = \frac{1}{x}\) sei auf ihrem maximalen Definitionsbereich ihre eigene Umkehrfunktion.
2. Die Funktion f mit \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) sei auf ihrem maximalen Definitionsbereich ihre eigene Umkehrfunktion.