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Lösung Symmetrie Parameter bestimmen

Version 5.2 von Holger Engels am 2025/02/11 19:48

Bestimme einen Zahlenwert a  so, dass der Graph symmetrisch zum Koordinatenursprung oder zur y-Achse ist.

Für Achsensymmetrie zur y-Achse gilt: f(x)=f(-x)
Für Punktsymmetrie zum Ursprung gilt: f(x)=-f(-x)

Es gibt hier zwei mögliche Herangehensweisen. Man kann es rein rechnerisch angehen, indem man obige Bedingungen prüft. Alternativ kann man die Nullstellen und deren Vielfachheiten heranziehen.

  1. f(x)=x+a
    Check y-Achse: f(-x)=-x+a \neq x+a ↯
    Check Ursprung: -f(-x)=-(-x+a)=x-a \rightarrow x+a = x-a für a=0

  2. f(x)=(x+1)(x-a)
    Check y-Achse: f(-x)=(-x+1)(-x-a) = -(-x+1)(x+a) = (x-1)(x+a) \rightarrow (x+1)(x-a) = (x-1)(x+a) für a=1
    Check Ursprung: -f(-x)=-(-x+1)(-x-a) = (-x+1)(x+a) \neq (x+1)(x-a)

  3. f(x)=x(x+a)^2
    Ein Weg, hier auf Symmetrien zu prüfen, ist, den Term zunächst auszumultiplizieren:
    f(x)=x^3+2ax^2+a^2x
    Der Grad ist 3 und damit ungerade. Es kommt also nur eine Punktsymmetrie zum Ursprung in Frage. Wir bilden -f(-x):
    -f(-x)=-((-x)^3+2a(-x)^2+a^2(-x))=-(-x^3+2ax^2-a^2x)=x^3-2ax^2+a^2x

  4. f(x)=x(x^2+a)
    Die höchste Potenz nach dem Ausmultiplizieren ist die 3. D.h. der Funktionsgraph kann evenutell punktsymmetrisch zum Ursprung sein. Man errechnet für beliebiges a
    f(-x)=-x((-x)^2+a)=-x(x^2+a)=-f(x).
    Der Funktionsgraph ist also für einen beliebigen a  Wert Achsensymmetrisch zur y-Achse, z.B. für a=2 .