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Version 12.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/06 23:52
Verstecke letzte Bearbeiter
Martin Rathgeb 2.1 1 **Aufgabenstellung:**
Martin Rathgeb 3.1 2 Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:
Martin Rathgeb 2.1 3
4 **Lösungsschritte:**
Martin Rathgeb 1.1 5 (% class="abc" %)
Martin Rathgeb 5.1 6 1. //Tabellarisches Verfahren (Teil 1).//
Martin Rathgeb 4.1 7
Martin Rathgeb 5.1 8 **Wertetabelle I (ganzzahlige Werte):**
Martin Rathgeb 2.1 9 (% class="border slim" %)
Martin Rathgeb 11.1 10 |{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
11 |{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}
Martin Rathgeb 4.1 12
Martin Rathgeb 3.1 13 **Interpretation:**
14 Die Funktion nimmt in diesen Punkten ausschließlich nicht-negative Werte an. Nur bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} wird der Funktionswert null. Zwischen diesen Punkten bleibt das Verhalten unklar – wir sehen noch keine negativen Werte. Eine genauere Untersuchung ist nötig.
Martin Rathgeb 4.1 15
Martin Rathgeb 6.1 16 2. //Tabellarisches Verfahren (Teil 2).//
Martin Rathgeb 5.1 17
18 **Wertetabelle II (ergänzende Zwischenwerte):**
Martin Rathgeb 3.1 19 (% class="border slim" %)
Martin Rathgeb 10.1 20 |{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}|
Martin Rathgeb 12.1 21 |{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|
Martin Rathgeb 4.1 22
Martin Rathgeb 3.1 23 **Interpretation:**
Martin Rathgeb 9.1 24 Nun zeigt sich:
25 (i) Für diejenigen {{formula}}x{{/formula}} mit {{formula}}x<-2{{/formula}}, {{formula}}-1<x<+1[{{/formula}} und {{formula}}+2<x{{/formula}} gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}}.
26 (ii) Für diejenigen {{formula}}x{{/formula}} mit {{formula}}-1,5<x<-1{{/formula}}, {{formula}}+1<x<+1,5[{{/formula}} gilt {{formula}}f(x)<{{/formula}}.
27 (iii) Hingegen liegt in den Intervallen {{formula}}]-2; -1,5[{{/formula}} und {{formula}}]+1,5; +2[{{/formula}} jeweils mindestens eine Nullstelle von {{formula}}f{{/formula}}, denn für beide Intervalle gilt: An den Rändern hat {{formula}}f(x){{\formula}} unterschiedliche Vorzeichen.
Martin Rathgeb 1.1 28
Martin Rathgeb 3.1 29 3. **Graphische Skizze:**
Martin Rathgeb 1.1 30
Martin Rathgeb 9.1 31 Die Funktion ist **geraden Grades** (4) mit **positivem Leitkoeffizienten** (1). Daraus folgt:
Martin Rathgeb 3.1 32 - {{formula}}\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = +\infty{{/formula}}
33 - Die Funktion ist **achsensymmetrisch**, da alle Potenzen gerade sind.
34 - Die vorherige Tabelle zeigt, dass der Graph in der Nähe von {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} die x-Achse berührt und dazwischen negativ wird.
Martin Rathgeb 1.1 35
Martin Rathgeb 3.1 36 **Lage zur x-Achse:**
37 - Nullstellen: {{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
38 - Graph liegt **oberhalb der x-Achse** für:
39 - {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}}
40 - {{formula}}-1 < x < 1{{/formula}}
41 - {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}}
Martin Rathgeb 1.1 42
Martin Rathgeb 2.1 43 ---
Martin Rathgeb 1.1 44
Martin Rathgeb 3.1 45 4. **Rechnerisches Verfahren:**
Martin Rathgeb 1.1 46
Martin Rathgeb 3.1 47 Faktorisieren:
Martin Rathgeb 1.1 48
Martin Rathgeb 3.1 49 {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}){{/formula}}
Martin Rathgeb 1.1 50
Martin Rathgeb 3.1 51 **Nullstellen:**
Martin Rathgeb 1.1 52
Martin Rathgeb 3.1 53 {{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
Martin Rathgeb 1.1 54
Martin Rathgeb 3.1 55 **Vorzeichenanalyse:**
Martin Rathgeb 1.1 56
Martin Rathgeb 3.1 57 | Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
58 |----------------------------------|----------|---------------------------------------------|
59 | {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
60 | {{formula}}(-\sqrt{3}, -1){{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
61 | {{formula}}(-1,\ 1){{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
62 | {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
63 | {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
Martin Rathgeb 1.1 64
Martin Rathgeb 3.1 65 **Gesuchte Lösung:**
66 {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für
Martin Rathgeb 1.1 67
Martin Rathgeb 3.1 68 **L** = {{formula}}(-\infty,\ -\sqrt{3}) \cup (-1,\ 1) \cup (\sqrt{3},\ \infty){{/formula}}
Martin Rathgeb 1.1 69
Martin Rathgeb 3.1 70 ---
Martin Rathgeb 2.1 71
Martin Rathgeb 3.1 72 5. **Vergleich der Verfahren:**
Martin Rathgeb 2.1 73
Martin Rathgeb 3.1 74 - Das **tabellarische Verfahren** gibt erste Hinweise auf das Verhalten der Funktion, eignet sich zur Erkundung durch systematisches Probieren, bleibt aber ungenau bei der Bestimmung von Nullstellenpositionen.
75 - Das **graphische Verfahren** bietet anschauliche Orientierung: Vorzeichenwechsel, Lage zur x-Achse und Symmetrie werden sichtbar. Es stützt das funktionale Verständnis, ist aber zeichengenauigkeitsabhängig.
76 - Das **rechnerische Verfahren** liefert exakte Aussagen zu Nullstellen, Intervallen und Lösungsmenge. Es ist unverzichtbar für formale Sicherheit, setzt jedoch algebraische Fähigkeiten voraus.
Martin Rathgeb 2.1 77
Martin Rathgeb 3.1 78 **Didaktisch:**
79 Die Verfahren stehen in einer natürlichen Lernprogression:
80 Vom **konkreten Probieren (Tabelle)** über das **visuelle Erfassen (Graph)** hin zum **symbolischen Durchdringen (Rechnung)**. Ihr Zusammenspiel stärkt nachhaltiges Verständnis für das Verhalten ganzrationaler Funktionen.
Martin Rathgeb 2.1 81
Martin Rathgeb 3.1 82 {{/loesung}}
Martin Rathgeb 2.1 83
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86 **Zusammenfassung:**
87 - Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
88 - Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
89 - Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.
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91 {{/loesung}}
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