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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.martinrathgeb
1 +XWiki.holgerengels
Inhalt
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6 6  [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
7 7  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
8 8  
9 -{{lernende}}
10 -[[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/UcgSUN2M]]
11 -{{/lernende}}
9 +{{lehrende}}
10 +x im Exponenten
11 +* Welches ist eine Exponentialfunktion, welches nicht? Ordne zu ... (komplexere Terme mit/ ohne x im Exponenten)
12 12  
13 -{{aufgabe id="Exponentialfunktion" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="2" cc="by-sa"}}
14 -Entscheide, ob der Term Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.
15 -(% class="abc" %)
16 -1. {{formula}}\frac{1}{8}(2(x-2))^3 + 1{{/formula}}
17 -1. {{formula}}\frac{1}{8}2^{3(x+1)}-1{{/formula}}
18 -{{/aufgabe}}
13 +Asymptotischer Verlauf
14 +* Schaubilder , die durch (0|1) verlaufen
15 +* 1, 1 + 2x, 1 + x^2, 2^x, 1/2^x .. 1/x^2 für x<0 weiterzeichnen
16 +* Funktionswert an den Stellen -1, 0, 1, 2
19 19  
20 -{{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
21 -[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]Gegeben ist der Graph zu {{formula}}f(x)=e^x{{/formula}}. Skizziere deine Vermutung wie die Graphen von {{formula}}g(x)=2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x)=3^x{{/formula}} verlaufen.
22 -(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)
23 -{{/aufgabe}}
18 +Warum kommen nur positive Basen in Frage?
19 +* Wertetabelle (-2)^x
24 24  
25 -{{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
26 -Ordne die Funktionsgraphen den Funktionstermen zu und skizziere jeweils im Schaubild den Abschnitt für //x<0//.
27 -{{formula}}f(x)=1+2x{{/formula}} {{formula}}g(x)=1 + x^2{{/formula}} {{formula}}h(x)=(\frac{1}{2})^x{{/formula}} {{formula}}i(x)=\frac{1}{(x+1)^2}{{/formula}} {{formula}}j(x)=2^x{{/formula}} {{formula}}k(x)=1{{/formula}}
28 -[[image:graph f.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph g.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph h.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph p.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph q.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph r.svg||style="margin: 8px;width:360px"]]
29 -(% class="abc" %)
30 -{{/aufgabe}}
31 -
32 -{{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
33 -(% class="abc" %)
34 -1. Fülle die Wertetabelle aus soweit wie möglich.
35 -(% class="border slim" %)
36 -|=x|2|1|0|-1|-2|-1,5
37 -|={{formula}}(-2)^x{{/formula}}||||||
38 -
39 -1. Erläutere, warum Exponentialfunktion nur für positive Basen {{formula}}q>0{{/formula}}, {{formula}}q\ne 1{{/formula}} definiert werden.
40 -{{/aufgabe}}
41 -
42 -{{aufgabe id="Basiswechsel verstehen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
43 -Gegeben ist die Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x)=2^x{{/formula}}. Gib die Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x)=4^{kx}{{/formula}} mit einem geeigneten //k// an.
44 -{{/aufgabe}}
45 -
46 -{{aufgabe id="Basiswechsel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
47 -Führe bei folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.
48 -(% class="abc" %)
49 -1. {{formula}}f(x)=(\frac{1}{4})^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b=2{{/formula}}
50 -1. {{formula}}f(x)=9^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b=\frac{1}{3}{{/formula}}
51 -1. {{formula}}f(x)=5^{2x+1}{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b=25{{/formula}}
52 -{{/aufgabe}}
53 -
54 -{{aufgabe id="Eulersche Zahl" afb="I" kompetenzen="K1,K6" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="6" cc="by-sa"}}
55 -Gegeben sind die Zahlterme
56 -{{formula}}a_1=2{{/formula}}
57 -{{formula}}a_2=2+\frac{1}{1\cdot 2}{{/formula}}
58 -{{formula}}a_3=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}{{/formula}}
59 -{{formula}}a_4=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{{/formula}}
60 -(% class="abc" %)
61 -1. Welches Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster fort und berechne {{formula}} a_5, a_6
62 -{{/formula}}.
63 -1. Die eulersche Zahl {{formula}} e{{/formula}} ist gegeben durch {{formula}} e= 2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+ ...{{/formula}}. D.h durch Fortsetzung des Musters berechnet man die Zahl {{formula}} e{{/formula}} auf immer mehr Nachkommastellen. Gib die Zahl {{formula}} e{{/formula}} so genau an, wie du sie in a) berechnet hast.
64 -{{/aufgabe}}
65 -
66 -{{lehrende}}
67 -"Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen" wird in den Aufgaben nicht abgedeckt, da die Bedeutung der Basis //e// als besondere Basis der Exponentialfunktion erst in der Differentialrechnung eine wichtige Rolle spielt. Die stetige Verzinsung bietet sich für den Unterricht an.
68 -K3 wird bewusst weggelassen, weil es in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.
69 -Für K2 geben die Kompetenzen nur wenig her.
70 -AFB III muss hier nicht erreicht werden.
21 +Basiswechsel
22 +* ohne ln
23 +* Auf Potenzgesetz zurückführen
71 71  {{/lehrende}}
72 72  
73 -{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
74 -
75 -**Bereinigter und überarbeiteter Wiki-Code gemäß BP BW (BG, Abitur ab 2024)**
76 -
77 -[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Funktionsterm erkennen
78 -[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
79 -[[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} auf zwei Nachkommastellen genau angeben
80 -[[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
81 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
82 -
26 +{{lernende}}
83 83  [[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/UcgSUN2M]]
28 +{{/lernende}}
84 84  
85 ----
86 -
87 -{{aufgabe id="Exponentialfunktion" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="2" cc="by-sa"}}
88 -Entscheide, ob der Ausdruck ein Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.
30 +{{aufgabe id="Exponentialfunktion" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="2"}}
31 +Entscheide jeweils, ob es sich bei dem Funktionsterm um einen Exponentialfunktionsterm handelt.
89 89  (% class="abc" %)
90 -1. {{formula}}\frac{1}{8}\left(2(x-2)\right)^3 + 1{{/formula}}
91 -1. {{formula}}\frac{1}{8} \cdot 2^{3(x+1)} - 1{{/formula}}
33 +1. {{formula}}f(x) = \frac{1}{8}(2(x-2))^3 + e{{/formula}}
34 +1. {{formula}}f(x) = \frac{1}{8}x^{3(x+1)}-1{{/formula}}
92 92  {{/aufgabe}}
93 93  
94 -{{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
95 -Gegeben ist der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}}.
96 -Skizziere die Graphen der Funktionen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} mit {{formula}}g(x) = 2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x) = 3^x{{/formula}} im Vergleich zum Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
97 -(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)
98 -[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]
37 +{{aufgabe id="Graphen" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8"}}
38 +Ordne die Funktionsgraphen den Funktionstermen zu und skizziere jeweils im Schaubild den Abschnitt für //x<0//.
39 +{{formula}}f(x)=1+2x{{/formula}} {{formula}}g(x)=1 + x^2{{/formula}} {{formula}}h(x)=(\frac{1}{2})^x{{/formula}} {{formula}}\frac{1}{(x+1)^2}{{/formula}}{{formula}}i(x)=2^x{{/formula}}
40 +[[image:graph f.svg||style="margin: 8px"]] [[image:graph g.svg||style="margin: 8px"]] [[image:graph h.svg||style="margin: 8px"]] [[image:graph p.svg||style="margin: 8px"]] [[image:graph q.svg||style="margin: 8px"]] [[image:graph r.svg||style="margin: 8px"]]
41 +(% class="abc" %)
99 99  {{/aufgabe}}
100 100  
101 -{{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
102 -Ordne die Funktionsgraphen den Funktionsgleichungen zu.
103 -Skizziere zusätzlich in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für {{formula}}x < 0{{/formula}}.
104 -
105 -{{formula}}f(x) = 1 + 2x{{/formula}}, {{formula}}g(x) = 1 + x^2{{/formula}}, {{formula}}h(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x{{/formula}},
106 -{{formula}}i(x) = \frac{1}{(x+1)^2}{{/formula}}, {{formula}}j(x) = 2^x{{/formula}}, {{formula}}k(x) = 1{{/formula}}
107 -
108 -[[image:graph f.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
109 -[[image:graph g.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
110 -[[image:graph h.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
111 -[[image:graph p.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
112 -[[image:graph q.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
113 -[[image:graph r.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
44 +{{aufgabe id="Basiswechel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10"}}
45 +Wandle die gegeben Exponentialfunktion in die entsprechende Basis um, z.B. {{formula}}f(x)=(\frac{1}{2})^x= 2^{-x}{{/formula}} ist eine Umwandlung in die neue Basis {{formula}}b=2{{/formula}}
46 +{{formula}}f(x)=(\frac{1}{4})^x{{/formula}} in die neue Basis {{formula}}b=2{{/formula}}
47 +{{formula}}f(x)=(\frac{3}{18})^x{{/formula}} in die neue Basis {{formula}}b=6{{/formula}}
48 +{{formula}}f(x)=9^x{{/formula}} in die neue Basis {{formula}}b=\frac{1}{3}{{/formula}}
49 +{{formula}}f(x)=5^{2x+1}{{/formula}} in die neue Basis {{formula}}b=25{{/formula}}
50 +{{formula}}f(x)=(\frac{16}{54})^{2x}{{/formula}} in die neue Basis {{formula}}b=\frac{3}{2}{{/formula}}
114 114  {{/aufgabe}}
115 115  
116 -{{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
117 -(% class="abc" %)
118 -1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.
119 -(% class="border slim" %)
120 -|=x|2|1|0|-1|-2|-1,5
121 -|={{formula}}(-2)^x{{/formula}}||||||
53 +{{aufgabe id="Exponentialfunktionen erkennen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="8"}}
122 122  
123 -1. Begründe, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen {{formula}}q > 0{{/formula}}, {{formula}}q \ne 1{{/formula}} definiert werden.
124 -{{/aufgabe}}
55 +Bestimme zu jedem Schaubild eine passende Funktionsgleichung.
125 125  
126 -{{aufgabe id="Basiswechsel verstehen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
127 -Gegeben ist die Funktion {{formula}}f(x) = 2^x{{/formula}}.
128 -Gib die Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x) = 4^{kx}{{/formula}} mit geeignetem {{formula}}k{{/formula}} an.
57 +[[image:Exponentialfunktionen.svg||width=600]]
129 129  {{/aufgabe}}
130 130  
131 -{{aufgabe id="Basiswechsel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
132 -Führe bei den folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.
133 -(% class="abc" %)
134 -1. {{formula}}f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = 2{{/formula}}
135 -1. {{formula}}f(x) = 9^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}
136 -1. {{formula}}f(x) = 5^{2x+1}{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = 25{{/formula}}
60 +{{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5"}}
61 +Gegeben ist der Graph zu {{formula}}f(x)=e^x{{/formula}}. Skizziere deine Vermutung wie die Graphen von {{formula}}g(x)=2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x)=3^x{{/formula}} verlaufen.
62 +(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)
63 +[[image:EFunktion.svg||width=500]]
137 137  {{/aufgabe}}
138 138  
139 -{{aufgabe id="Eulersche Zahl" afb="I" kompetenzen="K1,K6" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="6" cc="by-sa"}}
140 -Gegeben sind die Zahlterme:
141 -{{formula}}a_1 = 2{{/formula}}
142 -{{formula}}a_2 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2}{{/formula}}
143 -{{formula}}a_3 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}{{/formula}}
144 -{{formula}}a_4 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{{/formula}}
145 -
146 -(% class="abc" %)
147 -1. Beschreibe das Berechnungsmuster. Führe es fort und berechne {{formula}}a_5, a_6{{/formula}}.
148 -1. Die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib {{formula}}e{{/formula}} so genau an, wie du es in Teil a) berechnet hast.
66 +{{aufgabe id="Eigenschaften der e-Funktion" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5"}}
67 +Erstelle einen Steckbrief für die e-Funktion mit allen dir bekannten Eigenschaften.
149 149  {{/aufgabe}}
150 150  
151 -{{aufgabe id="Natürliche Basis anschaulich" afb="II" kompetenzen="K1" quelle="Erweiterung" zeit="5" cc="by-sa"}}
152 -Gegeben ist die Funktion {{formula}}f(x) = q^x{{/formula}}.
153 -
154 -Berechne für verschiedene Werte von {{formula}}q \in \{2; 2{,}5; 3; e\}{{/formula}} den Funktionswert an der Stelle {{formula}}x = 0{{/formula}} sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall {{formula}}[0, 0{,}1]{{/formula}}.
155 -
156 -(% class="abc" %)
157 -1. Trage die Werte in eine geeignete Tabelle ein.
158 -1. Welche Besonderheit stellst du für {{formula}}q = e{{/formula}} fest?
159 -1. Erkläre, warum man {{formula}}e{{/formula}} als „natürliche“ Basis einer Exponentialfunktion bezeichnet.
70 +{{aufgabe id="Eulersche Zahl" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="12"}}
71 +Gegeben sind die Zahlterme
72 +{{formula}} a_1=2{{/formula}}
73 +{{formula}} a_2=2+\frac{1}{1\cdot 2}{{/formula}}
74 +{{formula}} a_3=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}{{/formula}}
75 +{{formula}} a_4=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{{/formula}}
76 +a) Welchem Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster fort und berechne {{formula}} a_5, a_6
77 +{{/formula}}.
78 +b) Die eulersche Zahl {{formula}} e{{/formula}} ist gegben durch {{formula}} e= 2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+ ...{{/formula}}, d.h durch Fortsetzung des Musters berechnet man die Zahl {{formula}} e{{/formula}} auf immer mehr Nachkommastellen. Gib die Zahl {{formula}} e{{/formula}} so genau an, wie du sie in a) berechnet hast. Hinweis: Du kannst gerne noch mehr weiter Zahlterme {{formula}} a_7,a_8, usw.{{/formula}}, wenn du eine noch höhere Genauigheit haben willst.
160 160  {{/aufgabe}}
161 161  
162 162  {{lehrende}}
163 -Die Kompetenz „Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen“ wird in einer Zusatzaufgabe vertieft. Dabei wird herausgestellt, dass bei {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}} der Funktionswert und die Steigung an der Stelle {{formula}}x = 0{{/formula}} gleich sind, d. h. {{formula}}f(0) = 1{{/formula}} und {{formula}}f'(0) = 1{{/formula}}.
164 -Eine Anwendungsaufgabe zur stetigen Verzinsung kann hier sinnvoll ergänzen.
165 -
166 -K3 wird bewusst ausgelassen, da er in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.
167 -Für K2 gibt es aktuell keine geeigneten inhaltsbezogenen Anknüpfungspunkte.
168 -AFB III muss in diesem Themenblock nicht zwingend erreicht werden.
82 +"[[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen" wird in den Aufgaben nicht vollständig abgedeckt, da die Bedeutung der Basis e als besondere Basis der Exponentialfunktion erst in der Differentialrechnung eine wichtige Rolle bringt und eine Übungsaufgabe zur stetigen Verzinsung zwar im Unterricht oft behandelt wird aber sich nicht unbedingt zum Verständis der Exponentialfunktion an dieser Stelle benötigt wird.
169 169  {{/lehrende}}
170 170  
171 -{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
172 -
85 +{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="3" anforderungsbereiche="3" kriterien="4" menge="5"/}}
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Author
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -XWiki.holgerengels
Größe
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1 -18.0 KB
Inhalt
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -<svg version="1.1" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="586" height="385"><defs><clipPath id="SHRwTHRnkyIf"><path fill="none" stroke="none" d=" M 0 0 L 586 0 L 586 385 L 0 385 L 0 0 Z"/></clipPath></defs><g transform="scale(1,1)" clip-path="url(#SHRwTHRnkyIf)"><g><rect fill="rgb(255,255,255)" stroke="none" x="0" y="0" width="586" height="385" fill-opacity="1"/><path fill="none" stroke="rgb(192,192,192)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 24.5 0.5 L 24.5 385.5 M 24.5 0.5 L 24.5 385.5 M 86.5 0.5 L 86.5 385.5 M 149.5 0.5 L 149.5 385.5 M 212.5 0.5 L 212.5 385.5 M 337.5 0.5 L 337.5 385.5 M 400.5 0.5 L 400.5 385.5 M 463.5 0.5 L 463.5 385.5 M 525.5 0.5 L 525.5 385.5" stroke-opacity="1" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10"/><path fill="none" stroke="rgb(192,192,192)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 11.5 0.5 L 11.5 385.5 M 36.5 0.5 L 36.5 385.5 M 49.5 0.5 L 49.5 385.5 M 61.5 0.5 L 61.5 385.5 M 74.5 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