BPE 4.5 Logarithmus und Exponentialgleichungen

1  Exponentialgleichungen (Logarithmieren)  (15 min) 𝕃

Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:

1. \( e^x=3 \)
2. \( 2e^x-4=8 \)
3. \( 2e^{-0.5x}=6\)
4. \( e^x=-5 \)
5. \( 4\cdot 5^x=100 \)

2  Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)  (12 min) 𝕃

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:

1. \( 2x-x^{2}=0 \)
2. \( 2e^x-e^{2x}=0 \)
3. \( \frac{1}{3}e^x=e^{2x} \)
4. \( 3e^{-x}=2e^{2x} \)
5. \( 2x^e=x^{2e} \)

3  Exponentialgleichungen (Substitution)  (12 min) 𝕃

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:

1. \( x^{2}-2x-3=0 \)
2. \( e^{2x}-2e^x-3=0 \)
3. \( e^x-2e^{\frac{1}{2}x}-3=0 \)
4. \( e^x-2-\frac{8}{e^x}=0 \)  
5. \( 2e^{4x}=e^{2x}+3 \)

4  Logarithmen auswerten  (10 min) 𝕋  𝕃

Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.

1. \( \log_{10}(0.1) \)
2. \( \log_{100}(0.1) \)
3. \( \log_{10}(1000) \)
4. \( \log_{0.1}(1000) \)
5. \( \log_{0.1}(0.01) \)
6. \( \log_{10}(1) \)
7. \( \log_{100}(10) \)
8. \( \log_{10}(10) \)

5  Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)  (5 min) 𝕃

Ermittle die Lösung der Gleichung \( e^x = 5 \) graphisch und rechnerisch.

6  Gleichungen aufstellen I  (5 min) 𝕃

Nenne jeweils eine passende Gleichung:

Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich …

1. … die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung \( x = \frac{2}{5} \) erhalte.
2. … von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung \( x = \sqrt[5]{2} \) erhalte.
3. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung \( x = \log_5(2) \) erhalte.

7  Darstellungen zuordnen  (6 min) 𝕃

Ordne zu:

Implizite Gleichungen	Explizite Gleichungen	Wertetabellen	Schaubilder
\( x^{-3} = 8 \)	\( x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} \)	x 0 1 2 3 y 1 2 4 8
\( 2^x = 8 \)	\( x = -\log_{2}(8) \)	x 0 1 2 3 y n.d. 1 \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{27}\)
\( 2^{-x} = 8 \)	\( x = \log_{2}(8) \)	x 0 1 2 3 y 1 \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{8}\)

8  Gleichungen gemeinsamer Form  (6 min) 𝕃

Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.

1. \(e^{2x}-4e^x+3=0\)    \(u:=\_\_\_\) ⬊	\(x^{2e}-4x^e+3=0\)    \(u:=\_\_\_\) 🠗	\(x^{-2}-4x^{-1}+3=0\)    \(u:=\_\_\_\) ⬋
   	\(u^2-4u+3=0\)   \(u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_\)
   ⬋ \(\_\_\_:=u\)	🠗 \(\_\_\_:=u\)	⬊ \(\_\_\_:=u\)

2. \(x^{-2}-3x^{-1}=0\)    \(u:=\_\_\_\) ⬊	\(x^{2e}-3x^e=0\)    \(u:=\_\_\_\) 🠗	\(e^{2x}-3e^x=0\)    \(u:=\_\_\_\) ⬋
   	\(u^2-3u=0\)   \(u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_\)
   ⬋ \(\_\_\_:=u\)	🠗 \(\_\_\_:=u\)	⬊ \(\_\_\_:=u\)

3. \(x^{-2}-2x^{-1}+3=0\)    \(u:=\_\_\_\) ⬊	\(x^{2e}-2x^e+3=0\)    \(u:=\_\_\_\) 🠗	\(e^{2x}-2e^x+3=0\)    \(u:=\_\_\_\) ⬋
   	\(u^2-2u+3=0\)   \(u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_\)
   ⬋ \(\_\_\_:=u\)	🠗 \(\_\_\_:=u\)	⬊ \(\_\_\_:=u\)

9  Gleichungstypen einstudieren  (20 min) 𝕃

Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:

10   Exponentialgleichungen rückwärts lösen  (15 min) 𝕃

1. \[\begin{align*} \square e^x-2 &= 0\\ \square e^x &=\square\quad \mid :\square\\ e^x &= \square \\ x &= 0 \end{align*}\]
2. \[\begin{align*} e^{2x}-\square e^x &= 0 \\ e^x \cdot (\square-\square) &= 0 \mid \mid \text{ SVNP } \end{align*}\]

   \(e^x \neq 0 ~und~ e^x-\square = 0\)
   \( e^x=\square \)
   \( x =\square \)

3. \[\begin{align*} e^{2x}-\square e^x+\square &= 0 \quad \mid\mid\text{ Subst.: } e^x:=\square\\ z^2-\square z + \square &= 0 \quad \mid\mid\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } & \end{align*}\]

   \[\begin{align*} \Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\ z_{1,2}&=\frac{\square+\square}{\square} \end{align*}\]

   \[\begin{align*} &\text{Resubst.: } z:= e^x\\ &e^x=\square \Rightarrow x \approx 0,693147...\\ \end{align*}\]

11  Gleichungen aufstellen II  (10 min) 𝕃

Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei \( a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} \) gelten soll:
\( c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:. \)