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Änderungen von Dokument BPE 6.2 Von der Sekante zur Tangente

Zuletzt geändert von Stephanie Wietzorek am 2025/06/27 20:00
Von Version 27.1
bearbeitet von Stephanie Wietzorek
am 2025/06/27 11:55
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bearbeitet von Dirk Tebbe
am 2025/05/20 14:27
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.wies
1 +XWiki.dirktebbe
Inhalt
... ... @@ -6,25 +6,7 @@
6 6  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die durchschnittliche Änderungsrate aus einer Wertetabelle bestimmen
7 7  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die momentane Änderungsrate als Steigung der Tangente grafisch bestimmen
8 8  
9 -{{aufgabe id="Änderungsrate Intervall" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="4"}}
10 -Berechne die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion //f// im Intervall {{formula}}\left[-3;2\right]{{/formula}}.
11 -1. {{formula}}f(x)=5x^2-3{{/formula}}
12 -1. {{formula}}f(x)=0,25x^4-x^2-3{{/formula}}
13 -1. {{formula}}f(x)=2^x{{/formula}}
14 -{{/aufgabe}}
15 -
16 -{{aufgabe id="Änderungsrate offenes Intervall" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
17 -Gegeben ist die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}} im Intervall {{formula}}\left[-1;b\right]{{/formula}}. Ermittle einen Punkt P(b|{{formula}}f(b){{/formula}}), der folgende Bedingung erfüllt:
18 -{{formula}}m_s=\frac{f(b)-1}{b+1}=1,5{{/formula}}
19 -{{/aufgabe}}
20 -
21 -{{aufgabe id="Funktionsterms aus Differenzenquotient" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
22 -Bestimme einen Funktionsterm g, so dass gilt: {{formula}}m_s=\frac{g(4)-g(2)}{4-2}=2{{/formula}}
23 -1. für {{formula}}g(x)=mx{{/formula}}
24 -1. für {{formula}}g(x)=ax^2{{/formula}}
25 -{{/aufgabe}}
26 -
27 -{{aufgabe id="Die durchschnittliche Änderungsrate als Steigung der Sekante berechnen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="20"}}
9 +{{aufgabe id="Die durchschnittliche Änderungsrate als Steigung der Sekanten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="20"}}
28 28  Gegeben ist die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=-0,5x^2\cdot (x-4){{/formula}} für {{formula}}x\in \mathbb{R}{{/formula}}. Ihr Schaubild ist {{formula}}K_f{{/formula}}.
29 29  Gegeben sind zwei Kurvenpunkte A(1|f(1)) und B(4|f(4)).
30 30  (%class=abc%)
... ... @@ -33,7 +33,7 @@
33 33  1. Was stellst du fest?
34 34  {{/aufgabe}}
35 35  
36 -{{aufgabe id="Die durchschnittliche Änderungsrate aus dem Funktionsterm bestimmen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
18 +{{aufgabe id="Aus Term" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
37 37  Berechne die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion //f// im angegebenen Intervall.
38 38  (%class=abc%)
39 39  1. {{formula}}f(x)=\frac{1}{x}{{/formula}} für {{formula}}\left[\frac{1}{2};4\right]{{/formula}}
... ... @@ -41,74 +41,12 @@
41 41  1. {{formula}}f(x)=\frac{1}{5}x^2-5{{/formula}} für {{formula}}\left[-5;5\right]{{/formula}}
42 42  {{/aufgabe}}
43 43  
44 -{{aufgabe id="Die durchschnittliche Änderungsrate aus der Wertetabelle bestimmen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
26 +{{aufgabe id="Aus Wertetabelle" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
45 45  Berechne jeweils die durchschnittliche Änderungsrate für die Intervalle {{formula}}\left[0;2\right]{{/formula}} und {{formula}}\left[1;3\right]{{/formula}}. Was stellst du fest?
46 46  |x|0|1|2|3
47 47  |y|1|2|4|8
48 48  {{/aufgabe}}
49 49  
50 -{{aufgabe id="Von der Sekante zur Tangente" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA" zeit="15" interaktiv="https://www.geogebra.org/classic/frkdabw2"}}
51 -Gegeben ist eine Normalparabel mit einem festen Punkt A(1|f(1)) und einem auf der Normalparabel beliebigem Punkt B(1+h|f(1+h)).
52 -
53 -[[image:Sekante.png||width="500px"]]
54 -
55 -(%class=abc%)
56 -1. Bestimme die Koordinaten des Punktes B für h = 2 und berechne die Steigung der Sekante zwischen A und B.
57 -1. Gib eine allgemeine Formel für die Steigung der Sekante zwischen A und dem beliebigem Punkt B an.
58 -1. Beschreibe, wie sich die Lage von B verändert, wenn h immer kleiner wird (h geht gegen 0)
59 -1. Berechne die Sekantensteigung für h = 0,1.
60 -1. Die Tangente im Punkt A besitzt die Gleichung {{formula}}y = 2x - 1{{/formula}}. Stelle einen Zusammenhang zwischen der Steigung der Sekante und der Tangentensteigung in Abhängigkeit von h auf.
61 -{{/aufgabe}}
62 -
63 -{{aufgabe id="Aktienkurs" afb="" kompetenzen="" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA" zeit="15"}}
64 -Die Abbildung zeigt den Tagesverlauf des Wirecardaktienkurs am 19.06.2020 von 8:00 Uhr bis 10:00 Uhr. Der Aktienkurs ist an diesem Tag aufgrund des in einen Bilanzskandal verwickelten Dax-Konzerns weiter eingebrochen.
65 -
66 -[[image:Aktie.png||width="500px"]]
67 -
68 -(%class=abc%)
69 -1. Beschreibe grob den Kursverlauf in den zwei Stunden.
70 -1. Berechne näherungsweise die durchschnittliche Änderungsrate zwischen 9:30 uhr und 9:45 Uhr und vergleiche diese mit der momentanen Änderungsrate um 9:30 Uhr.
71 -1. Welchen Wertverlust erlitt die Aktie innerhalb der zwei Stunden?
72 -1. Zu welchem Zeitpunkt ist der Wertverlust am größten?
73 -
74 -{{/aufgabe}}
75 -
76 -{{aufgabe id="BMX" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="10" quelle="IQB e.V. 2019 Analysis gAN Teil 2 CAS" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" links="[[Interaktiv erkunden>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Differentialrechnung/Mittlere%20%C3%84nderungsrate#erkunden]]"}}
77 -BMX-Fahrräder sind speziell für das Gelände ausgelegte Sportgeräte. Für den professionellen Einsatz dieser Fahrräder wird auf horizontalem Untergrund eine 3 m breite Sprungschanze installiert. Im Längsschnitt der Schanze kann deren Profillinie für {{formula}}x ∈ \in\left[ -8;0 \right]{{/formula}} modellhaft durch die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion f mit
78 -
79 -{{formula}}
80 -f(x)=-\frac{5}{256}x^3+\frac{3}{4}x+2
81 -{{/formula}}
82 -
83 -beschrieben werden. Die Abbildung 1 zeigt den zugehörigen Teil des Graphen von //f//.
84 -Der Startpunkt, von dem aus die Schanze durchfahren wird, wird durch den Punkt {{formula}}S( -8 | f ( -8 ) ){{/formula}} dargestellt, der Absprungpunkt durch {{formula}}A(0 | f ( 0 ) ){{/formula}}.
85 -
86 -[[Abbildung 1>>image:Schanze.png]]
87 -
88 -Veranschauliche in Abbildung 1 die mittlere Steigung der Schanze zwischen Startpunkt und Absprungpunkt. Bestimme diese Steigung.
89 -{{/aufgabe}}
90 -
91 -{{aufgabe id="Laufband" afb="II" kompetenzen="K3, K5" quelle="IQB e.V. 2019 Analysis gAN Teil 2 WTR" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]"}}
92 -Im Rahmen eines Tests läuft ein Sportler auf einem Laufband. Dabei wird bei ansteigender Geschwindigkeit jeweils die Konzentration sogenannter Laktate im Blut gemessen.
93 -Die Abhängigkeit der Laktatkonzentration von der Geschwindigkeit kann für {{formula}}8,5\leq x \leq 17,5{{/formula}} modellhaft durch die Funktion //k// beschrieben werden mit:
94 -
95 -{{formula}}
96 -k(x) = \frac{1}{40}(x^{3}-30x^{2}+288x-815)
97 -{{/formula}}
98 -
99 -Dabei ist {{formula}}x{{/formula}} die Geschwindigkeit des Sportlers in Kilometer pro Stunde und //k// die Laktatkonzentration in Millimol pro Liter {{formula}}\frac{mmol}{l}{{/formula}}. Berechne im Modell für den Geschwindigkeitsbereich von 12 bis 17,5 {{formula}}\frac{km}{h}{{/formula}} die mittlere Änderungsrate der Laktatkonzentration.
100 -{{/aufgabe}}
101 -
102 -{{aufgabe id="Kondensator" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" quelle="Abi 2012 Anwendung, modifiziert"}}
103 -Ein Kondensator ist ein Bauteil, das elektrische Ladung speichert. Der Ladevorgang eines Kondensators wird im Labor untersucht. Zum Zeitpunkt t = 0 beginnt der Aufladevorgang. Die Stärke des elektrischen Stroms, der beim Aufladen fließt, wird gemessen. Die Messwerte sind in folgender Tabelle zusammengefasst:
104 -
105 -(% style="width:min-content" %)
106 -|=Zeit [s]|1,0|2,4|4,8|7,2|9,6
107 -|=Stromstärke [mA]|9,0|6,0|3,0|1,5|0,75
108 -
109 -Ermittle einen Zeitraum beim Ladevorgang, in der die durchschnittliche Änderungsrate der Stromstärke halb so groß ist wie im Zeitraum von 2,4 s bis 4,8 s!
110 -{{/aufgabe}}
111 -
112 112  {{lehrende}}
113 113  Der Bildungsplaninhalt "Ich kann die momentane Änderungsrate als Steigung der Tangente grafisch bestimmen" wird in BPE 6.2 behandelt.
114 114  {{/lehrende}}
Schanze.png
Author
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1 -XWiki.holger
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1 -15.3 KB
Inhalt
Schieberegler Sekante.ggb
Author
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1 -XWiki.wies
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Inhalt
Sekante.ggb
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Inhalt
Sekante.png
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1 -XWiki.wies
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