Änderungen von Dokument Lösung Schwerpunkt im Dreieck

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,15 +1,63 @@
1		-[[image:Schwerpunktlsg.png||width="320" style="float: left"]]
	1	+1. Für die Koordinaten des Schwerpunktes gilt:
	2	+{{formula}}x_S=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{0+2+(-1)}{3}=\frac{1}{3}, y_S=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{0+3+5}{3}=\frac{8}{3}, z_S=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}=\frac{0+4+(-2)}{3}=\frac{2}{3}{{/formula}}
	3	+{{formula}}S\left(\frac{1}{3}|\frac{8}{3}|\frac{2}{3}\right){{/formula}}
	4	+
	5	+2. [[image:Schwerpunktlsg.png||width="250" style="float: right"]]
2	2	Sei {{formula}}M_a{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{BC}{{/formula}}, {{formula}}M_b{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{AC}{{/formula}} und {{formula}}M_c{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{AB}{{/formula}}.
3	3
	8	+
4	4	Es gilt:
5	5
6	6	{{formula}}
7	7	\begin{align*}
8	8	\overrightarrow{AS}&=k\cdot \overrightarrow{AM_a} \\
9		- &= k\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\quad \text{(I)}
	14	+ &= k\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\right) \quad \text{(I)}
10	10	\end{align*}
11	11	{{/formula}}
	17	+
12	12	und
13		-(I)
14		-(II)
15	15
	20	+{{formula}}
	21	+\begin{align*}
	22	+\overrightarrow{CS}&=t\cdot \overrightarrow{CM_c} \\
	23	+ &= t\cdot \left(\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\right) \quad \text{(II)}
	24	+\end{align*}
	25	+{{/formula}}
	26	+
	27	+mit {{formula}}k,t \in \mathbb{R^+}{{/formula}}
	28	+
	29	+Die Strecke {{formula}}\overrightarrow{AS}{{/formula}} lässt sich als geschlossener Vektorzug wie folgt aufschreiben:
	30	+
	31	+{{formula}}
	32	+\begin{align*}
	33	+\overrightarrow{AS}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CS} \\
	34	+\Leftrightarrow \overrightarrow{CS} &= \overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC} \quad \text{(III)}
	35	+\end{align*}
	36	+{{/formula}}
	37	+
	38	+
	39	+Einsetzen von {{formula}}\text{(I)}{{/formula}} und {{formula}}\text{(II)}{{/formula}} in {{formula}}\text{(III)}{{/formula}}:
	40	+
	41	+{{formula}}
	42	+\begin{align*}
	43	+&t\cdot \left(\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\right) = k\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\right)-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\\
	44	+\Leftrightarrow &\overrightarrow{AB}\cdot \left(-\frac{1}{2}t-k+1\right)+\overrightarrow{BC}\cdot \left(-t-\frac{1}{2}k+1 \right)=0
	45	+\end{align*}
	46	+{{/formula}}
	47	+
	48	+Da {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} linear unabhängig sind, ist die linke Seite genau dann 0, wenn die Terme innerhalb der Klammern beide 0 sind. Das heißt, man erhält folgendes Gleichungssystem:
	49	+
	50	+{{formula}}
	51	+\begin{align*}
	52	+\left(-\frac{1}{2}t-k+1\right)&=0 \quad (i) \\
	53	+\left(-t-\frac{1}{2}k+1 \right)&=0 \quad (ii)
	54	+\end{align*}
	55	+{{/formula}}
	56	+
	57	+{{formula}}2\cdot \text{(i)}{{/formula}}-{{formula}}\text{(ii)}{{/formula}}: {{formula}}-\frac{3}{2}k+1=0 \Leftrightarrow k=\frac{2}{3} {{/formula}}
	58	+
	59	+Einsetzen von {{formula}}k=\frac{2}{3}{{/formula}} in {{formula}}\text{(i)}{{/formula}} (oder {{formula}}\text{(ii)}{{/formula}}) liefert {{formula}}t=\frac{2}{3}{{/formula}}
	60	+
	61	+Somit ist gezeigt, dass der Schwerpunkt {{formula}}S{{/formula}} die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt.
	62	+
	63	+//Die Koordinaten des Schwerpunktes erhält man, indem man {{formula}}k=\frac{2}{3}{{/formula}} in Gleichung {{formula}}\text{(I)}}{{/formula}} einsetzt. //