Änderungen von Dokument Lösung Schwerpunkt im Dreieck

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,55 +1,15 @@
1		-[[image:Schwerpunktlsg.png||width="250" style="float: right"]]
	1	+[[image:Schwerpunktlsg.png||width="320" style="float: left"]]
2	2	Sei {{formula}}M_a{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{BC}{{/formula}}, {{formula}}M_b{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{AC}{{/formula}} und {{formula}}M_c{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{AB}{{/formula}}.
3	3
4		-
5	5	Es gilt:
6	6
7	7	{{formula}}
8	8	\begin{align*}
9	9	\overrightarrow{AS}&=k\cdot \overrightarrow{AM_a} \\
10		- &= k\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\right) \quad \text{(I)}
	9	+ &= k\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\quad \text{(I)}
11	11	\end{align*}
12	12	{{/formula}}
13		-
14	14	und
	13	+(I)
	14	+(II)
15	15
16		-{{formula}}
17		-\begin{align*}
18		-\overrightarrow{CS}&=t\cdot \overrightarrow{CM_c} \\
19		- &= t\cdot \left(\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\right) \quad \text{(II)}
20		-\end{align*}
21		-{{/formula}}
22		-
23		-mit {{formula}}k,t \in \mathbb{R^+}{{/formula}}
24		-
25		-Die Strecke {{formula}}\overrightarrow{AS}{{/formula}} lässt sich als geschlossener Vektorzug wie folgt aufschreiben:
26		-
27		-{{formula}}
28		-\begin{align*}
29		-\overrightarrow{AS}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CS} \\
30		-\Leftrightarrow \overrightarrow{CS} &= \overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC} \quad \text{(III)}
31		-\end{align*}
32		-{{/formula}}
33		-
34		-
35		-Einsetzen von {{formula}}\text{(I)}{{/formula}} und {{formula}}\text{(II)}{{/formula}} in {{formula}}\text{(III)}{{/formula}}:
36		-
37		-{{formula}}
38		-\begin{align*}
39		-&t\cdot \left(\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\right) = k\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\right)-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\\
40		-\Leftrightarrow &\overrightarrow{AB}\cdot \left(-\frac{1}{2}t-k+1\right)+\overrightarrow{BC}\cdot \left(-t-\frac{1}{2}k+1 \right)=0
41		-\end{align*}
42		-{{/formula}}
43		-
44		-Da {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} linear unabhängig sind, ist die linke Seite genau dann 0, wenn die Terme innerhalb der Klammern beide 0 sind. Das heißt, man erhält folgendes Gleichungssystem:
45		-
46		-{{formula}}
47		-\begin{align*}
48		-\left(-\frac{1}{2}t-k+1\right)&=0 \quad (I) \\
49		-\left(-t-\frac{1}{2}k+1 \right)&=0 \quad (II)
50		-\end{align*}
51		-{{/formula}}
52		-
53		-{{formula}}2\cdot \text{(I)}{{/formula}}-{{formula}}\text{(II)}{{/formula}}: {{formula}}-\frac{3}{2}k+1=0 \Leftrightarrow k=\frac{2}{3} {{/formula}}
54		-
55		-Einsetzen von {{formula}}k=\frac{2}{3}{{/formula}} in {{formula}}\text{(I)}{{/formula}} (oder {{formula}}\text{(II)}{{/formula}}) liefert {{formula}}t=\frac{2}{3}{{/formula}}