Änderungen von Dokument Lösung Schwerpunkt im Dreieck

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -20,10 +20,7 @@
20	20	\end{align*}
21	21	{{/formula}}
22	22
23		-mit {{formula}}k,t \in \mathbb{R^+}{{/formula}}
24		-
25	25	Die Strecke {{formula}}\overrightarrow{AS}{{/formula}} lässt sich als geschlossener Vektorzug wie folgt aufschreiben:
26		-
27	27	{{formula}}
28	28	\begin{align*}
29	29	\overrightarrow{AS}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CS} \\
...	...	@@ -30,26 +30,3 @@
30	30	\Leftrightarrow \overrightarrow{CS} &= \overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC} \quad \text{(III)}
31	31	\end{align*}
32	32	{{/formula}}
33		-
34		-
35		-Einsetzen von {{formula}}\text{(I)}{{/formula}} und {{formula}}\text{(II)}{{/formula}} in {{formula}}\text{(III)}{{/formula}}:
36		-
37		-{{formula}}
38		-\begin{align*}
39		-&t\cdot \left(\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\right) = k\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\right)-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\\
40		-\Leftrightarrow &\overrightarrow{AB}\cdot \left(-\frac{1}{2}t-k+1\right)+\overrightarrow{BC}\cdot \left(-t-\frac{1}{2}k+1 \right)=0
41		-\end{align*}
42		-{{/formula}}
43		-
44		-Da {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} linear unabhängig sind, ist die linke Seite genau dann 0, wenn die Terme innerhalb der Klammern beide 0 sind. Das heißt, man erhält folgendes Gleichungssystem:
45		-
46		-{{formula}}
47		-\begin{align*}
48		-\left(-\frac{1}{2}t-k+1\right)&=0 \quad (I) \\
49		-\left(-t-\frac{1}{2}k+1 \right)&=0 \quad (II)
50		-\end{align*}
51		-{{/formula}}
52		-
53		-{{formula}}2\cdot \text{(I)}{{/formula}}-{{formula}}\text{(II)}{{/formula}}: {{formula}}-\frac{3}{2}k+1=0 \Leftrightarrow k=\frac{2}{3} {{/formula}}
54		-
55		-Einsetzen von {{formula}}k=\frac{2}{3}{{/formula}} in {{formula}}\text{(I)}{{/formula}} (oder {{formula}}\text{(II)}{{/formula}}) liefert {{formula}}t=\frac{2}{3}{{/formula}}