BPE 12 Einheitsübergreifend

1  L’Hospital  (30 min) 𝕃

Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion f mit \( f(x)=a\cdot q^x + b, x \in \mathbb{R}, a,b \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{Q}, \) „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion g mit \( g(x)= \tilde{a} \cdot x^r + \tilde{b}, x \in \mathbb{R}, \tilde{a},\tilde{b} \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{Q} \).
Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten  \(x\)-Wert \(x_0 \) ist \( f(x)>g(x) \) für alle \(x>x_0 \).

Betrachtet man z. B. die Funktionen \( f(x) = \frac{1}{30} \cdot 1,01^x\) und \( g(x)= x^{100} \), so scheint dies nicht der Fall zu sein (vgl. Abbildung).

Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen.

Verwende hierfür ein- oder mehrmalig die Regel von de L’Hospital, die für zwei ableitbare Funktionen f und g Folgendes besagt:

(Die Regel setzt man ein, wenn für  \( x \rightarrow \infty\) Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen \(-\infty\) oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen  \(+\infty \) gehen.)

Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für \( x \rightarrow -\infty\) und für \( x \rightarrow x_0, x_0 \in \mathbb{R}\).

2  Grad, Skizze  (k.A.) 𝕃

Eine in \(\mathbb{R}\) definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion \(f\) mit erster Ableitungsfunktion \(f'\) und zweiter Ableitungsfunktion \(f''\) hat folgende Eigenschaften:

• \(f\) hat bei \(x_1\) eine Nullstelle.
• Es gilt \(f'(x_2)=0\) und \(f''(x_2)\neq 0\).
• \(f'\) hat ein Minimum an der Stelle \(x_3\).

Die Abbildung zeigt die Positionen von \(x_1, x_2\) und \(x_3\):

1. Begründe, dass der Grad von \(f\) mindestens 3 ist.
2. Skizziere in der Abbildung einen möglichen Graphen von \(f\).

3  Kosinusfunktion, Periode, Steigung  (k.A.) 𝕃

Eine in \(\mathbb{R}\) definierte Kosinusfunktion \(f\) hat die Periode \(p\). Der Punkt \(\left(\frac{p}{2}\middle| p\right)\) ist ein Hochpunkt des Graphen von \(f\), der Punkt \(\left(\frac{p}{4}\middle|\frac{p}{2}\right)\) ein Wendepunkt. Bestimme die Steigung des Graphen von \(f\) an der Stelle \(\frac{p}{4}\).

4  Lokale und mittlere Änderungsrate  (k.A.) 𝕋  𝕃

Gegeben sind die Funktion \(f:\ x\mapsto\sqrt{x}\) mit Definitionsmenge \(\mathbb{R}_0^+\) und die Gerade \(g\) mit der Gleichung \(y=\frac{1}{4}x\). Betrachtet wird das Intervall, das von den x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte des Graphen von \(f\) und der Gerade \(g\) begrenzt wird.

In diesem Intervall gibt es eine Stelle, an der die lokale Änderungsrate von \(f\) mit der mittleren Änderungsrate von \(f\) in diesem Intervall übereinstimmt. Bestimme diese Stelle.