BPE 12 Einheitsübergreifend

Aufgabe 1  L’Hospital (M+) 𝕃

Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion f mit  „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion g mit .
Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten  -Wert  ist  für alle .

Betrachtet man z. B. die Funktionen  und , so scheint dies nicht der Fall zu sein (vgl. Abbildung).

Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen.

Verwende hierfür ein- oder mehrmalig die Regel von de L’Hospital, die für zwei ableitbare Funktionen f und g Folgendes besagt:

(Die Regel setzt man ein, wenn für   Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen  oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen   gehen.)

Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für  und für .

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