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Version 3.1 von akukin am 2025/08/03 19:23
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akukin 1.1 1 (%class=abc%)
2 1. (((1. Summenfunktion {{formula}}f(x)=f_1(x)+f_2(x)=m_1x+b_1+m_2x+b_2=(m_1+m_2)x+(b_1+b_2){{/formula}}
3 1. Vielfachenfunktion {{formula}}f(x)=a\cdot f_1(x)=a\cdot (m_1x+b_1)=(am_1)x+ab_1{{/formula}}
4 1. (((Produktfunktion
5
6 {{formula}}
7 \begin{align}
8 f(x)&=f_1(x)\cdot f_2(x) \\
9 &=(m_1x+b_1)\cdot(m_2x+b_2)\\
10 &=m_1m_2x^2+m_1b_2x+m_2b_1x+b_1b_2\\
11 &=m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2
12 \end{align}
13 {{/formula}}
14
15 )))
16 1. (((Verkettung
17
18 {{formula}}
19 \begin{align}
20 f(x)&=f_2(x)\circ f_1(x)=f_2(f_1(x))=f_2(m_1x+b_1) \\
21 &=m_2(m_1x+b_1)+b_2 \\
akukin 3.1 22 &=(m_1m_2)x+(m_2b_1+b_2)
akukin 1.1 23 \end{align}
24 {{/formula}}
25
26 )))
27 )))
akukin 2.1 28 1. (((Die Ableitung an der Stelle {{formula}}x_0{{/formula}} berechnet sich mit Hilfe des Differenzialquotienten durch
29 {{formula}}f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}{{/formula}}
30
31 1. (((Summenfunktion:
32
33 {{formula}}
34 \begin{align}
35 f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x+(b_1+b_2)-((m_1+m_2)x_0+(b_1+b_2))}{x-x_0}\\
36 &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x+(b_1+b_2)-(m_1+m_2)x_0-(b_1+b_2)}{x-x_0} \\
37 &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x-(m_1+m_2)x_0}{x-x_0} \\
38 &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(x-x_0)(m_1+m_2)}{x-x_0} \\
39 &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \left((m_1+m_2)\frac{x-x_0}{x-x_0}\right) \\
40 &=m_1+m_2
41 \end{align}
42 {{/formula}}
43
44 Somit ist {{formula}}f'(x)=m_1+m_2{{/formula}}.
45 )))
46 1. (((Vielfachenfunktion:
47
48 {{formula}}
49 \begin{align}
50 f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x+ab_1-((am_1)x_0+ab_1)}{x-x_0}\\
51 &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x+ab_1-(am_1)x_0-ab_1}{x-x_0}\\
52 &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x)-(am_1)x_0}{x-x_0}\\
53 &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{am_1(x-x_0)}{x-x_0}\\
54 &=am_1
55 \end{align}
56 {{/formula}}
57
58 Somit ist {{formula}}f'(x)=am_1{{/formula}}.
59 )))
60 1. (((Produktfunktion:
61
62 {{formula}}
63 \begin{align}
64 f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2-(m_1m_2x_0^2+(m_1b_2+m_2b_1)x_0+b_1b_2)}{x-x_0}\\
akukin 3.1 65 &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2-m_1m_2x_0^2-(m_1b_2+m_2b_1)x_0-b_1b_2}{x-x_0}\\
66 &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2-m_1m_2x_0^2+(m_1b_2+m_2b_1)x-(m_1b_2+m_2b_1)x_0}{x-x_0}\\
akukin 2.1 67 &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2(x^2-x_0^2)+(m_1b_2+m_2b_1)(x-x_0)}{x-x_0}\\
68 &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2(x-x_0)(x+x_0)+(m_1b_2+m_2b_1)(x-x_0)}{x-x_0}\\
akukin 3.1 69 &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} (m_1m_2(x+x_0)+(m_1b_2+m_2b_1)) \\
akukin 2.1 70 &=m_1m_2 2x_0+(m_1b_2+m_2b_1)\\
71 \end{align}
72 {{/formula}}
73
akukin 3.1 74 Somit ist {{formula}}f'(x)=2m_1m_2 x+(m_1b_2+m_2b_1){{/formula}}.
akukin 2.1 75 )))
akukin 3.1 76 1. (((Verkettung:
77
78 {{formula}}
79 \begin{align}
80 f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x+(m_2b_1+b_2)-((m_1m_2)x_0+(m_2b_1+b_2))}{x-x_0}\\
81 &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x+m_2b_1+b_2-(m_1m_2)x_0-m_2b_1-b_2}{x-x_0}\\
82 &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)(x-x_0)}{x-x_0}\\
83 &=m_1m_2
84 \end{align}
85 {{/formula}}
86
87 Somit ist {{formula}}f'(x)=m_1m_2{{/formula}}.
akukin 2.1 88 )))
akukin 3.1 89 )))