Lösung Kosinusfunktion, Periode, Steigung

Zuletzt geändert von akukin am 2024/03/05 14:43

Wenn Punkt \left(\frac{p}{2}\middle| p\right) ein Hochpunkt des Graphen von f ist und der Punkt \left(\frac{p}{4}\middle|\frac{p}{2}\right) ein Wendepunkt, dann ist der Punkt \left(0\middle|0\right) ein Tiefpunkt. Folglich kann die Funktionsgleichung geschrieben werden als:
f\left(x\right)=-a\cdot\cos{\left(\frac{2\pi}{p}x\right)}+d
wobei die Amplitude a=\frac{1}{2}\left(\frac{p}{2}+0\right)=\frac{1}{4}p
und die Verschiebung in y-Richtung d=\frac{p}{2}:
f\left(x\right)=-\frac{p}{2}\cdot\cos{\left(\frac{2\pi}{p}\cdot x\right)}+\frac{p}{2}
Die Ableitung lautet:
f^\prime\left(x\right)=\frac{p}{2}\cdot\frac{2\pi}{p}\cdot\sin{\left(\frac{2\pi}{p}\cdot x\right)}=\pi \cdot\sin{\left(\frac{2\pi}{p}\cdot x\right)}
An der Stelle x=\frac{p}{4}:
f^\prime\left(\frac{p}{4}\right)=\pi\cdot\sin{\left(\frac{2\pi}{p}\cdot\frac{p}{4}\right)}=\pi\cdot\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}=\pi
Also ist die Steigung des Graphen an der angegebenen Stelle: \pi