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Lösung Monotonie

Zuletzt geändert von akukin am 2023/11/20 10:25

Am besten erhält man ein Gefühl für die Aufgabe, indem man verschiedene Funktionen zeichnet, die das Kriterium f'(x)>0  für alle x verletzen.

  • Sobald es einen x-Wert mit negativer Steigung gibt, gibt es wegen der Knickfreiheit einen Bereich mit negativer Steigung und in diesem Bereich gilt: a<b \Rightarrow f(a)>f(b) , weswegen eine solche Funktion nicht streng monoton steigend sein kann.
    Also kann eine streng monoton steigende Funktion keinen x-Wert mit negativer Steigung haben.
  • Sobald ein ganzes Intervall [a,b]  (und sei es noch so klein) zwar keine negative Steigung aber immerhin die Steigung null hat, gilt für dieses Intervall: a<b \Rightarrow f(a)=f(b) , und wieder ist die Funktion nicht streng monoton steigend.
    Also kann eine streng monoton steigende Funktion keine konstanten Bereiche besitzen.

x^3.png

  • Als letzte Möglichkeit bleibt eine einzelne waagrechte Stelle, umgeben von lauter x-Werten mit positiver Steigung. (Als Beispiel könnte man f(x)=x^3  an der Stelle x=0  betrachten.)
    Wegen a<b muss jedoch ein (beliebig kleines) Intervall um x betrachtet werden. Da außer x alle Steigungen von f im Intervall positiv sind, folgt f(a)<f(b) , und f bleibt streng monoton steigend.
    Also darf eine streng monoton steigende Funktion eine einzelne waagrechte Stelle besitzen.

Die Aussage ist also wahr, z. B. für x=0  bei f mit f(x)=x^3 .

x^3mitAbleitung.png
Bemerkung: Mit derselben Argumentation darf eine streng monoton steigende Funktion beliebig viele einzelne waagrechte Stelle besitzen.

Weitere Bemerkung: Man kann auch durch Aufleitung von f' argumentieren: Für alle a<b gilt \int_a^b f'(x)dx=f(b)-f(a)>0, denn der Graph K von f' bildet in jedem Intervall [a,b] eine positiv orientierte Integralfläche, auch wenn K einzelne Nullstellen besitzt. Somit folgt   f(b)<f(a) .