Erste Teilaufgabe – Begründen, weshalb jede Integralfunktion auch Stammfunktion ist:
Für jedes \(a \in \mathbb{D}\) gilt:\( I_a (x)=\int_a^x f(x) dx = F(x)-F(a)\). Dabei bezeichnet F eine beliebige Stammfunktion von f. Da nun F(a) eine reelle Zahl ist, geht der Graph von I_a aus dem Graph von F durch Verschiebung um F(a) nach unten hervor und ist somit ebenfalls eine Stammfunktion von f.
Zweite Teilaufgabe – Überprüfen: Ist auch jede Stammfunktion eine Integralfunktion?
Es gibt hier verschiedene Herangehensweisen: Man kann eine Funktion skizzieren und verschiedene Stammfunktionen und überlegen: Ist jede dieser Stammfunktionen eine Integralfunktion und falls ja, für welches a?
Durch diese Überlegungen findet man schnell heraus: I_a muss bei x = a eine Nullstelle haben. Sobald jedoch eine Stammfunktion nicht ganz IR als Wertebereich hat (z. B. hat \(F(x) = x^2\) den Wertebereich \(\mathbb{R_0^+}\)), kann man sie so nach oben oder unten verschieben, dass sie keine Nullstellen besitzt.
Pauls Aussage ist also falsch.
Es bleibt zu überprüfen, was mit einer Funktion f ist, deren Stammfunktionen F ganz \(\mathbb{R}\) als Wertemenge haben. Dann hat auch jede Stammfunktion F mindestens eine Nullstelle a.
Somit gilt für die Integralfunktion I_a folgende Gleichung: \(I_a (x)=F(x)-F(a)=F(x)\).
Also ist jede Stammfunktion Integralfunktion.
Sevdas Aussage ist falsch. Lucie hat recht.
(Es hängt davon ab, ob die Wertemenge einer Stammfunktion von f ganz \(\mathbb{R}\) abdeckt.)