Erste Teilaufgabe – Begründen, weshalb jede Integralfunktion auch Stammfunktion ist:
Für jedes gilt:
. Dabei bezeichnet
eine beliebige Stammfunktion von
. Da nun
eine reelle Zahl ist, geht der Graph von
aus dem Graph von
durch Verschiebung um
nach unten hervor und ist somit ebenfalls eine Stammfunktion von
.
Zweite Teilaufgabe – Überprüfen: Ist auch jede Stammfunktion eine Integralfunktion?
Es gibt hier verschiedene Herangehensweisen: Man kann eine Funktion skizzieren und verschiedene Stammfunktionen und überlegen: Ist jede dieser Stammfunktionen eine Integralfunktion und falls ja, für welches ?
Durch diese Überlegungen findet man schnell heraus: muss bei
eine Nullstelle haben. Sobald jedoch eine Stammfunktion nicht ganz
als Wertebereich hat (z. B. hat
den Wertebereich
), kann man sie so nach oben oder unten verschieben, dass sie keine Nullstellen besitzt.
Pauls Aussage ist also falsch.
Es bleibt zu überprüfen, was mit einer Funktion ist, deren Stammfunktionen
ganz
als Wertemenge haben. Dann hat auch jede Stammfunktion F mindestens eine Nullstelle
.
Somit gilt für die Integralfunktion folgende Gleichung:
.
Also ist jede Stammfunktion Integralfunktion.
Sevdas Aussage ist falsch. Lucie hat recht.
(Es hängt davon ab, ob die Wertemenge einer Stammfunktion von ganz
abdeckt.)