Wiki-Quellcode von Lösung Horn von Torecelli
Version 34.1 von Niklas Wunder am 2023/10/24 16:41
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| 1 | a) Das Volumen V eines Rotationskörpers lässt sich durch {{formula}} V(x)=\pi \cdot \int_a^b (f(x))^2 \;dx {{/formula}} bestimmen. | ||
| 2 | Für die gegebene Funktion f erhält man demnach {{formula}} V(x)= \pi \cdot \int_a^b (f(x))^2 \;dx = \pi \cdot \int_1^\infty (\frac{1}{x})^2 \;dx =\pi \cdot \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\;dx =[-\pi\cdot \frac{1}{x}]_1^\infty = 0-(-\pi)=\pi{{/formula}}. Das Volumen des Horns ist also gerade {{formula}}\pi{{/formula}}. | ||
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| 4 | b) Baut man eine waagerechte Treppe T mit x-Schrittweite eins und Höhe {{formula}}\frac{1}{n+1}{{/formula}} mit {{formula}}n \in \mathbb{N}{{/formula}} so erhält man als eine Treppe, die garantiert einen kleineren Flächeninhalt besitzt als das Horn. Für dieses gilt {{formula}}M(x) > T(x) = \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...= \infty{{/formula}}. Demnach muss das Horn ebenfalls einen unendlichen Flächeninhalt besitzen, wenn schon die kleinere Treppe einen unendlichen Flächeninhalt besitzt. | ||
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| 6 | c) Mit der Mantelformel erhält man {{formula}} M(x)=2\,\pi \cdot \int_1^\infty \frac{1}{x}\cdot \sqrt{1+\frac{1}{x^4}} \;dx > 2\,\pi \cdot \int_1^\infty \frac{1}{x} \; dx= 2\,\pi \cdot [\ln(x)]_1^\infty =\infty {{/formula}} |