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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -16,36 +16,19 @@
16	16	Nach Umstellen der Nebenbedingung nach {{formula}}x{{/formula}} ergibt sich
17	17	{{formula}}x = - \frac{1}{2}y - \frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75{{/formula}}
18	18
19		-Einsetzen von {{formula}}x{{/formula}} in die Hauptbedingung liefert nun unsere Zielfunktion
20		-
21		-{{formula}}
22		-\begin{align*}
23		-L(y) &= \Bigl(-\frac{1}{2}y-\frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75\Bigl)\cdot y \cdot 0,9 +\pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7\\
	19	+Einsetzen von {{formula}}x{{/formula}} in die Hauptbedingung liefert nun unsere Zielfunktion:
	20	+{{formula}}\begin{align}
	21	+L(y) &= \Bigl(-\frac{1}{2}y-\frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75\Bigl)\cdot y \cdot 0,9 +\pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7 \\
24	24	&=-0,45y^2-0,225\piy^2+0,0875\pi y^2+1,575y
25		-\end{align*}
	23	+\end{align}
26	26	{{/formula}}
27	27
28		-Mit den ersten beiden Ableitungen
29	29	{{formula}}L'(y)= -0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}}
30		-{{formula}}L''(y)\approx -1,76{{/formula}}.
	27	+{{formula}}L''(y)\approx -1,76{{/formula}}
31	31
32		-Durch die notwendige Bedingung {{formula}}L'(y)=0{{/formula}} ergibt sich
	29	+{{formula}}L'(y)=0{{/formula}}
33	33	{{formula}}0=-0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}}
34		-und somit folgt nach Umstellen {{formula}}y\approx 0,893{{/formula}}.
35		-
36		-Nun muss noch die hinreichende Bedingung ({{formula}}L''(y) \neq 0{{/formula}}) geprüft werden:
	31	+{{formula}}y\approx 0,893{{/formula}}
37	37	{{formula}}L''(0,893)\approx -1,76 <0 \rightarrow{{/formula}} Maximum
38	38
39		-An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=]0;\frac{4}{\pi +1]{{/formula}} erhält man
40		-{{formula}}L(0)=0{{/formula}} und {{formula}}L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698{{/formula}}.
41	41
42		-Demnach liegt bei {{formula}}y \approx 0,893{{/formula}} ein globales Maximum vor, denn {{formula}}L(0,893)\approx 0,703 > L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698{{/formula}} (und L(0,893)>L(0)=0).
43		-
44		-Für {{formula}}x{{/formula}} ergibt sich also
45		-{{formula}}x= -\frac{1}{2}0,893- \frac{\frac{1}{2}\pi \cdot 0,893}{2}+1,75 \approx 0,60{{/formula}}
46		-
47		-Schlussendlich erhält man
48		-{{formula}}A_{Rechteck, max}=0,6 \cdot 0,893 = 0,5358{{/formula}}m^^2^^
49		-{{formula}}A_{Hakbkreis, max}= \pi \cdot (\frac{1}{2}0,893)^2\cdot \frac{1}{2} \approx 0,31{{/formula}}m^^2^^
50		-und damit
51		-{{formula}}A_{ges,max}= 0,5358{{/formula}}m^^2^^ {{formula}}+0,31{{/formula}}m^^2^^ {{formula}}=0,8458{{/formula}}m^^2^^