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Zuletzt geändert von akukin am 2024/01/18 10:51
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bearbeitet von akukin
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am 2024/01/03 14:45
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
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1 -XWiki.akukin
1 +XWiki.martinstern
Inhalt
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1 -[[image:Kirchenfenster.PNG||width="250" style="float: right"]]
2 -
3 -Für den Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks und Halbkreises gilt:
4 -
5 -{{formula}}A_{Rechteck} = x \cdot y{{/formula}}
6 -{{formula}}A_{Halbkreis} = \pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}A_{Kreis}= \pi \cdot r^2{{/formula}}
7 -{{formula}} U_{Rechteck} = 2x+y {{/formula}}
8 -{{formula}}U_{Halbkreis} = 2\pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl) \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}U_{Kreis}=2\pi r{{/formula}}
9 -
10 -Die Hauptbedingung lautet
11 -{{formula}}L= x\cdot y \cdot 0,9 + \pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7{{/formula}}.
12 -
13 -Die Nebenbedingung lautet
14 -{{formula}} U= 2x + y + 2\pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl) \cdot \frac{1}{2} = 3,5 {{/formula}}.
15 -
16 -Nach Umstellen der Nebenbedingung nach {{formula}}x{{/formula}} ergibt sich
17 -{{formula}}x = - \frac{1}{2}y - \frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75{{/formula}}
18 -
19 -Einsetzen von {{formula}}x{{/formula}} in die Hauptbedingung liefert nun unsere Zielfunktion
20 -
21 -{{formula}}
22 -\begin{align*}
23 -L(y) &= \Bigl(-\frac{1}{2}y-\frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75\Bigl)\cdot y \cdot 0,9 +\pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7\\
24 -&=-0,45y^2-0,225\piy^2+0,0875\pi y^2+1,575y
25 -\end{align*}
26 -{{/formula}}
27 -
28 -Mit den ersten beiden Ableitungen
29 -{{formula}}L'(y)= -0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}}
30 -{{formula}}L''(y)\approx -1,76{{/formula}}.
31 -
32 -Durch die notwendige Bedingung {{formula}}L'(y)=0{{/formula}} ergibt sich
33 -{{formula}}0=-0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}}
34 -und somit folgt nach Umstellen{{formula}}y\approx 0,893{{/formula}}.
35 -
36 -Nun muss noch die hinreichende Bedingung ({{formula}}L''(y) \neq 0{{/formula}}) geprüft werden
37 -{{formula}}L''(0,893)\approx -1,76 <0 \rightarrow{{/formula}} Maximum
38 -
39 -
1 +[[image:L16.png]]
2 +[[image:L17.png]]
3 +[[image:L18.png]]
Kirchenfenster.PNG
Author
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1 -XWiki.akukin
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1 -78.4 KB
Inhalt
L16.png
Author
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1 -XWiki.martinstern
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1 -2.5 MB
Inhalt
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Author
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1 -XWiki.martinstern
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Inhalt
L18.png
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1 -XWiki.martinstern
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Inhalt