Änderungen von Dokument Lösung Fluß

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  • Fluss berechnet.PNG

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

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1		-[[image:Fluss.PNG||width="350" style="float: right"]]
	1	+[[image:Fluss.PNG||width="220" style="float: right"]]
2	2
3	3	__Gegeben:__ {{formula}} \overline{AD}= 500\text{m}; \overline{BC}= 1000\text{m};{{/formula}}
4		-Geschwindigkeit von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D{{/formula}}: {{formula}}v_{AD}= 50 \frac{\text{m}}{\text{min}}{{/formula}};
5		-Geschwindigkeit von {{formula}}D{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}}: {{formula}}v_{DC}= 300 \frac{\text{m}}{\text{min}{{/formula}}
	4	+Geschwindigkeit von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D{{/formula}}: {{formula}}v_{AD}= 50 {{/formula}};
	5	+Geschwindigkeit von {{formula}}D{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}}: {{formula}}v_{DC}= 300 \frac{\text{m}{\text{min}{{/formula}}
6	6
7		-__Gesucht:__ Wie groß muss {{formula}}x{{/formula}} sein, sodass er möglichst schnell von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}} kommt?
	7	+__Gesucht:__ x
8	8
9		-Da der Sportler den Weg von {{formula}}D{{/formula}} zu {{formula}}C{{/formula}} 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von {{formula}}A{{/formula}} zu {{formula}}D{{/formula}}, lautet die **Hauptbedingung**:
10		-
	9	+Da der Sportler den Weg von {{formula}}D{{/formula}} zu {{formula}}C{{/formula}} 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von {{formula}}A{{/formula}} zu {{formula}}D{{/formula}}, lautet die Hauptbedingung:
11	11	{{formula}}S = 6 \cdot \overline{AD} + \overline {DC}{{/formula}}
12	12
13		-Die **Nebenbedingungen** lauten:
	12	+Die Nebenbedingungen lauten:
14	14	{{formula}}\overline{AD}= \sqrt{500^2+x^2}{{/formula}}
15	15	{{formula}}\overline{DC}= 1000 - x{{/formula}}
16	16
17		-Somit lautet die **Zielfunktion**:
	16	+Somit lautet die Zielfunktion:
18	18	{{formula}}S(x)= 6 \cdot \sqrt{500^2+x^2} + 1000 - x {{/formula}}
19	19
20		-mit den Ableitungen
21	21
22		-{{formula}}S'(x)= \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1{{/formula}}
23		-{{formula}}S''(x)= 6x \bigl(-\frac{1}{2}(500^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x \bigl) + 6(500^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}{{/formula}}
24	24
25		-Durch die notwendige Bedingung {{formula}}S'(x)=0{{/formula}} ergibt sich
26	26
27		-{{formula}}
28		-\begin{align*}
29		-&\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1&=&\: 0 &\: \mid +1\\
30		-\Leftrightarrow &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}&=&\: 1 &\: \mid \cdot \sqrt{500^2+x^2}\\
31		-\Leftrightarrow &\: 6x &=&\: \sqrt{500^2+x^2} &\: \mid ()^2 \\
32		-\Leftrightarrow &\: 36x^2 &=&\: 500^2+x^2 &\: \mid -x^2 \\
33		-\Leftrightarrow &\: 35x^2 &=&\: 500^2 &\: \mid :35 \\
34		-\Leftrightarrow &\: x^2 &=&\: \frac{500^2}{35} &\: \mid \sqrt \\
35		-\Leftrightarrow &\: x_{1,2} &=&\: \pm \frac{100\sqrt{35}}{7} &
36		-\end{align*}
37		-{{/formula}}
38		-
39		-Dabei kommt nur die positive positive Lösung {{formula}}x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}{{/formula}} in Frage. Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung ergibt
40		-{{formula}}S''\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) \approx 0,0115 >0 \rightarrow{{/formula}} **Minimum**
41		-
42		-Einsetzen in die Zielfunktion liefert
43		-
44		-{{formula}}S\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) = 6 \cdot \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}+1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 3958,04{{/formula}}.
45		-
46		-An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=[0;1000]{{/formula}} erhält man
47		-{{formula}}S(0)=4000{{/formula}} und {{formula}}S(1000)\approx 6708{{/formula}}.
48		-
49		-Demnach liegt bei {{formula}}x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}{{/formula}} ein globales Minimum vor, denn {{formula}}S(x_1)\approx 3958,04 < 4000({{/formula}} (und {{formula}}S(x_1)\approx 3958,04 < 6708{{/formula}}).
50		-
51		-
52		-[[image:Fluss berechnet.PNG||width="200" style="float: right"]]
53		-Nun setzt man {{formula}}x_1{{/formula}} in die NB ein:
54		-{{formula}}\overline{AD}= \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}\approx 507,09 \text{m}{{/formula}}
55		-{{formula}}\overline{DC}= 1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 915,49 \text{m}{{/formula}}
56		-
57		-{{formula}}\implies \overline{AD} + \overline{DC} = 507,09 \text{m}+915,49 \text{m} = 1422,58 \text{m}{{/formula}}
58		-
59		-Für die Dauer ergibt sich jeweils
60		-{{formula}} t_{AD}= \frac{507,09 \text{m}}{50 \frac{\text{m}}{\text{min}}}= 10,14 \text{min}{{/formula}}
61		-{{formula}}t_{DC} = \frac{915,49 \text{m}}{300 \frac{\text{m}}{\text{min}}}= 3,05 \text{min} {{/formula}}
62		-
63		-Und damit insgesamt
64		-{{formula}}t_{ges}=10,14 \text{min}+3,05 \text{min} = 13,19 \text{min} \rightarrow{{/formula}} **13 min 11 sec**

Fluss berechnet.PNG

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1		-XWiki.akukin

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1		-29.5 KB

Inhalt