Änderungen von Dokument Lösung Fluß

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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1		-[[image:L12.png]]
2		-[[image:L13.png]]
3		-[[image:L14.png]]
4		-[[image:L15.png]]
	1	+[[image:Fluss.PNG||width="280" style="float: right"]]
	2	+
	3	+__Gegeben:__ {{formula}} \overline{AD}= 500\text{m}; \overline{BC}= 1000\text{m};{{/formula}}
	4	+Geschwindigkeit von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D{{/formula}}: {{formula}}v_{AD}= 50 \frac{\text{m}}{\text{min}}{{/formula}};
	5	+Geschwindigkeit von {{formula}}D{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}}: {{formula}}v_{DC}= 300 \frac{\text{m}}{\text{min}{{/formula}}
	6	+
	7	+__Gesucht:__ {{formula}}x{{/formula}}
	8	+
	9	+Da der Sportler den Weg von {{formula}}D{{/formula}} zu {{formula}}C{{/formula}} 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von {{formula}}A{{/formula}} zu {{formula}}D{{/formula}}, lautet die Hauptbedingung:
	10	+{{formula}}S = 6 \cdot \overline{AD} + \overline {DC}{{/formula}}
	11	+
	12	+Die Nebenbedingungen lauten:
	13	+{{formula}}\overline{AD}= \sqrt{500^2+x^2}{{/formula}}
	14	+{{formula}}\overline{DC}= 1000 - x{{/formula}}
	15	+
	16	+Somit lautet die Zielfunktion:
	17	+{{formula}}S(x)= 6 \cdot \sqrt{500^2+x^2} + 1000 - x {{/formula}}
	18	+
	19	+mit den Ableitungen
	20	+
	21	+{{formula}}S'(x)= \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1{{/formula}}
	22	+{{formula}}S''(x)= 6x \bigl(-\frac{1}{2}(500^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x \bigl) + 6(500^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}{{/formula}}
	23	+
	24	+Durch die notwendige Bedingung {{formula}}S'(x)=0{{/formula}} ergibt sich
	25	+{{formula}}
	26	+\begin{align*}
	27	+\frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1=0 \mid +1\\
	28	+\frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}= 1 \mid \cdot \sqrt{500^2+x^2}\\
	29	+6x = \sqrt{500^2+x^2} \mid ()^2 \\
	30	+36x^2= 500^2+x^2 \mid -x^2 \\
	31	+35x^2 = 500^2 \mid :35 \\
	32	+x^2 = \frac{500^2}{35} \mid \sqrt \\
	33	+x_1,2 = \pm \frac{100\sqrt{35}}{7}
	34	+\end{align*}
	35	+{{/formula}}