Änderungen von Dokument Lösung Fluß

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,10 +1,10 @@
1		-[[image:Fluss.PNG||width="220" style="float: right"]]
	1	+[[image:Fluss.PNG||width="280" style="float: right"]]
2	2
3		-__Gegeben:__ {{formula}} \overline{AD}= 500 m; \overline{BC}= 1000\text{m};{{/formula}}
4		-Geschwindigkeit von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D{{/formula}}: {{formula}}v_{AD}= 50 \frac{\text{m}{\text{min}{{/formula}};
5		-Geschwindigkeit von {{formula}}D{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}}: {{formula}}v_{DC}= 300 \frac{\text{m}{\text{min}{{/formula}}
	3	+__Gegeben:__ {{formula}} \overline{AD}= 500\text{m}; \overline{BC}= 1000\text{m};{{/formula}}
	4	+Geschwindigkeit von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D{{/formula}}: {{formula}}v_{AD}= 50 \frac{\text{m}}{\text{min}}{{/formula}};
	5	+Geschwindigkeit von {{formula}}D{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}}: {{formula}}v_{DC}= 300 \frac{\text{m}}{\text{min}{{/formula}}
6	6
7		-__Gesucht:__ x
	7	+__Gesucht:__ Wie groß muss {{formula}}x{{/formula}} sein, sodass er möglichst schnell von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}} kommt?
8	8
9	9	Da der Sportler den Weg von {{formula}}D{{/formula}} zu {{formula}}C{{/formula}} 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von {{formula}}A{{/formula}} zu {{formula}}D{{/formula}}, lautet die Hauptbedingung:
10	10	{{formula}}S = 6 \cdot \overline{AD} + \overline {DC}{{/formula}}
...	...	@@ -16,6 +16,45 @@
16	16	Somit lautet die Zielfunktion:
17	17	{{formula}}S(x)= 6 \cdot \sqrt{500^2+x^2} + 1000 - x {{/formula}}
18	18
	19	+mit den Ableitungen
19	19
	21	+{{formula}}S'(x)= \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1{{/formula}}
	22	+{{formula}}S''(x)= 6x \bigl(-\frac{1}{2}(500^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x \bigl) + 6(500^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}{{/formula}}
20	20
	24	+Durch die notwendige Bedingung {{formula}}S'(x)=0{{/formula}} ergibt sich
21	21
	26	+{{formula}}
	27	+\begin{align*}
	28	+&\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1&=&\: 0 &\: \mid +1\\
	29	+\Leftrightarrow &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}&=&\: 1 &\: \mid \cdot \sqrt{500^2+x^2}\\
	30	+\Leftrightarrow &\: 6x &=&\: \sqrt{500^2+x^2} &\: \mid ()^2 \\
	31	+\Leftrightarrow &\: 36x^2 &=&\: 500^2+x^2 &\: \mid -x^2 \\
	32	+\Leftrightarrow &\: 35x^2 &=&\: 500^2 &\: \mid :35 \\
	33	+\Leftrightarrow &\: x^2 &=&\: \frac{500^2}{35} &\: \mid \sqrt \\
	34	+\Leftrightarrow &\: x_{1,2} &=&\: \pm \frac{100\sqrt{35}}{7} &
	35	+\end{align*}
	36	+{{/formula}}
	37	+
	38	+Dabei kommt nur die positive positive Lösung {{formula}}x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}{{/formula}} in Frage. Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung ergibt
	39	+{{formula}}S''\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) \approx 0,0115 >0 \rightarrow{{/formula}} Minimum
	40	+
	41	+Einsetzen in die Zielfunktion liefert
	42	+
	43	+{{formula}}S\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) = 6 \cdot \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}+1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 3958,04{{/formula}}.
	44	+
	45	+An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=[0;1000]{{/formula}} erhält man
	46	+{{formula}}S(0)=4000{{/formula}} und {{formula}}S(1000)\approx 6708{{/formula}}.
	47	+
	48	+Demnach liegt bei {{formula}}x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}{{/formula}} ein globales Minimum vor, denn {{formula}}S(x_1)\approx 3958,04 < 4000({{/formula}} (und {{formula}}S(x_1)\approx 3958,04 < 6708{{/formula}}).
	49	+
	50	+Nun setzt man {{formula}}x_1{{/formula}} in die NB ein:
	51	+{{formula}}\overline{AD}= \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}\approx 507,09 \text{m}{{/formula}}
	52	+{{formula}}\overline{DC}= 1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 915,49 \text{m}{{/formula}}
	53	+{{formula}}\overline{AD} + \overline{DC} 507,09 \text{m}+915,49 \text{m} = 1422,58 \text{m}{{/formula}}
	54	+
	55	+Für die Dauer ergibt sich jeweils
	56	+{{formula}} t_{AD}= \frac{507,09 \text{m}}{50 \frac{\text{m}}{\text{min}}}= 10,14 \text{min}{{/formula}}
	57	+{{formula}}t_{DC} = \frac{915,49 \text{m}}{300 \frac{\text{m}}{\text{min}}}= 3,05 \text{min} {{/formula}}
	58	+
	59	+Und damit insgesamt
	60	+{{formula}}t_{ges}=10,14 \text{min}+3,05 \text{min} = 13,19 \text{min} \rightarrow{{/formula}} 13 min 11 sec