Änderungen von Dokument Lösung Rechteck unter Parabel

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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9	9	1. Dann die erste Ableitung Null setzen und mit der zweiten die Ergebnisse überprüfen.
10	10	1. Definitionsbereich beachten und Definitionsränder auch ausrechnen.
11	11	1. Mathematisches Ergebnis im Kontext zur Aufgabe interpretieren.
	12	+
	13	+
	14	+[[image:PlotRechteckunterParabel.PNG||width="250" style="float: right"]]
	15	+
	16	+Die **Hauptbedingung** lautet
	17	+{{formula}}A=2u\cdot v{{/formula}}
	18	+
	19	+und die **Nebenbedinung**
	20	+{{formula}}v=-1,25u^2+5{{/formula}}
	21	+
	22	+Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung liefert die **Zielfunktion**
	23	+{{formula}}A(u)=2u\cdot (-1,25u^2+5)=-2,5u^3+10u{{/formula}}
	24	+
	25	+mit den Ableitungen
	26	+{{formula}}A'(u)=-7,5u^2+10{{/formula}}
	27	+{{formula}}A''(u)=-15u{{/formula}}
	28	+
	29	+Erste Ableitung gleich Null setzen:
	30	+
	31	+{{formula}}
	32	+\begin{align*}
	33	+A'(u)&=0\\
	34	+\Leftrightarrow -7,5u^2+10 &=0\\
	35	+\Leftrightarrow u_{1,2} &= \pm \sqrt{\frac{10}{7,5}}\approx \pm 1,15
	36	+\end{align*}
	37	+{{/formula}}
	38	+
	39	+Da {{formula}}u_2\approx -1,15{{/formula}} außerhalb des Definitionsbereiches {{formula}}D=]0;2[{{/formula}} liegt, kommt nur die positive Lösung in Frage.
	40	+
	41	+Einsetzen von {{formula}}u_1 \approx 1,15{{/formula}} in die zweite Ableitung:
	42	+{{formula}}A''(1,15) = -17,25 < 0 \rightarrow{{/formula}} **Maximum**
	43	+
	44	+Es ist {{formula}}A(1,15) \approx 7,70{{/formula}}.
	45	+
	46	+Für die Randwerte des Definitionsbereiches ergibt sich {{formula}}A(0)=0{{/formula}} und {{formula}}A(2)=0{{/formula}}. Demnach liegt bei {{formula}}u_1\approx 1,15{{/formula}} ein globales Maximum vor.
	47	+
	48	+Einsetzen von {{formula}}u_1{{/formula}} in die NB liefert
	49	+{{formula}}v=-1,25\cdot 1,15^2+5 \approx 3,35{{/formula}}.
	50	+
	51	+Das heißt, das Rechteck muss die Seitenlängen {{formula}}v=3,35 \text{LE}{{/formula}} und {{formula}}2u=2,3\text{LE}{{/formula}}besitzen, damit der Flächeninhalt maximal ist.