Änderungen von Dokument Lösung Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt

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1	1	1. Die Dreiecke {{formula}}ABD_k{{/formula}} und {{formula}}ACD_k{{/formula}} sind rechtwinklig und stimmen in den Längen ihrer Katheten überein, da {{formula}}|\overline{AB}|=|\overline{AC}| = 4{{/formula}} (und beide Dreiecke haben dieselbe zweite Kathete {{formula}}AD_k{{/formula}}). Damit sind auch die beiden Hypotenusen gleich lang.
2	2	1. Da das Dreieck {{formula}}BCD_k{{/formula}} gleichschenklig mit der Basis {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} ist, stellt {{formula}}\overline{MD_k}{{/formula}} eine Höhe dieses Dreiecks dar.
3	3	Der Flächeninhalt berechnet sich durch {{formula}}A = \frac{1}{2} \cdot G \cdot h = \frac{1}{2}\cdot |\overline{BC}|\cdot |\overline{MD_k}| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{32}+ \sqrt{8+k^2}.{{/formula}}
4		-1. Da der Koordinatenursprung nicht in {{formula}}L_k{{/formula}} liegt, lässt sich die gesuchte Gleichung in der Form {{formula}}ax_1+bx_2+cx_3 = 4{{/formula}} schreiben. Mit den Koordinaten von {{formula}}B, C{{/formula}} und {{formula}}D_k{{/formula}} ergibt sich {{formula}}a =1, b=1{{/formula}} und {{formula}}c \cdot k = 4 \Leftrightarrow c = \frac{4}{k}{{/formula}}.
	4	+1. Da der Koordinatenursprung nicht in {{formula}}L_k{{/formula}} liegt, lässt sich die gesuchte Gleichung in der Form {{formula}}ax_1+bx_2+cx_3 = 4{{/formula}} schreiben. Mit den Koordinaten von {{formula}}B, C{{/formula}} und {{formula}}D_k{{/formula}} ergibt sich
5	5
	6	+{{formula}}
	7	+\begin{align}
	8	+ a\cdot 4 + 0 + 0 &= 4 &\Leftrightarrow a =1, \\
	9	+ 0 + b \cdot 4 + 0 &= 4 &\Leftrightarrow b=1, \\
	10	+\text{und} \quad 0 + 0 + c \cdot k &= 4 &\Leftrightarrow c = \frac{4}{k}
	11	+\end{align}
	12	+{{/formula}}
6	6
	14	+und damit {{formula}}L_k = x_1+x_2+ \frac{4}{k}\cdot x_3 =4{{/formula}}.
	15	+4. Für {{formula}}k>0{{/formula}} gilt:
7	7
	17	+{{formula}}
	18	+\begin{align}
	19	+&\sin(30\text{°}) &= \frac{\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \frac{4}{k} \end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right| \cdot \left|\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \frac{4}{k} \end{array}\right)\right|} \\
	20	+&\Leftrightarrow &\frac{1}{2} &= \frac{\frac{4}{k}}{\sqrt{1+1+ \frac{16}{k^2}}} &\qquad \qquad \mid \cdot 2 \mid \cdot \sqrt{1+1+ \frac{16}{k^2}}\\
	21	+&\Leftrightarrow &\sqrt{2 + \frac{16}{k^2}} &= \frac{8}{k} &\mid ()^2 \\
	22	+&\Leftrightarrow &2 + \frac{16}{k^2} &= \frac{64}{k^2} & \mid \cdot k^2 \mid :2\\
	23	+&\Leftrightarrow &k^2 &= 24 &\mid \sqrt\\
	24	+&\Leftrightarrow & k &= 2\sqrt{6}
	25	+\end{align}
	26	+{{/formula}}
8	8
	28	+5. Enthält {{formula}}L_k{{/formula}} den Punkt {{formula}}P(1|0|3){{/formula}}, so gilt {{formula}}L_4 = 1 + 0 + \frac{12}{k}= 4 \Leftrightarrow k = 4{{/formula}}
9	9
	30	+6. Für {{formula}}4 \leq k < 6{{/formula}}: drei Eckpunkte
	31	+Für {{formula}}3<k<4{{/formula}}: fünf Eckpunkte
	32	+Für {{formula}}0<k\leq 3{{/formula}}: vier Eckpunkte
	33	+
	34	+
	35	+
	36	+
	37	+