Änderungen von Dokument Lösung Oktaeder

Zusammenfassung

• Seiteneigenschaften (1 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,15 +1,46 @@
1		-1. (((Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass die Länge der Strecke {{formula}}\overline{AC}{{/formula}} der gesuchten Kantenlänge entspricht.
	1	+=== Teilaufgabe 1 ===
	2	+
	3	+{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
	4	+Kantenlänge des Würfels: {{formula}}\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\left(\begin{array}{c} -4\\ -8 \\ 8 \end{array}\right)\right|=\sqrt{144}=12{{/formula}}
	5	+{{/detail}}
	6	+
	7	+{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	8	+Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass die Länge der Strecke {{formula}}\overline{AC}{{/formula}} der gesuchten Kantenlänge entspricht.
	9	+<br>
2	2	{{formula}}A\left(1\left|2\right|1\right),C\left(-3\left|-6\right|9\right){{/formula}}
	11	+<br>
3	3	{{formula}}\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right|=\left|\left(\begin{array}{c} -3 \\ -6 \\ 9 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{c} -4\\ -8 \\ 8 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-4)^2+(-8)^2+8^2}=\sqrt{144}=12{{/formula}}
4	4
5		-Also ist die Kantenlänge des Würfels 12. )))
6		-1. (((Wir gehen bis zum Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} des Quadrats {{formula}}ABCD{{/formula}}, das heißt bis zum Mittelpunkt der Diagonalen {{formula}}\overline{AC}{{/formula}}, und von dort aus in Richtung des Normalenvektors {{formula}}\vec{n}{{/formula}} von {{formula}}H{{/formula}}, da dieser senkrecht auf {{formula}}ABCD{{/formula}} steht.
	14	+<br>
	15	+Also ist die Kantenlänge des Würfels {{formula}}12{{/formula}}.
	16	+{{/detail}}
7	7
8		-Da die Kantenlänge des Würfels 12 ist (siehe Teilaufgabe 1.), müssen wir von {{formula}}M{{/formula}} aus 6 Längeneinheiten in Richtung {{formula}}\vec{n}{{/formula}} gehen.
	18	+
	19	+=== Teilaufgabe 2 ===
	20	+
	21	+{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
	22	+Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Strecke {{formula}}\overline{AC}: M\left(-1\left|-2\right|5\right){{/formula}}
	23	+<br>
	24	+Normalenvektor von {{formula}}H: \ \vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \ \text{mit} \ \left|\vec{n}\right|=3{{/formula}}
	25	+<br>
	26	+Damit ergeben sich die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte, die nicht in {{formula}}H{{/formula}} liegen, zu
	27	+<br>
	28	+{{formula}}\overrightarrow{OM}+2\cdot\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 3\\ 0 \\ 9 \end{array}\right){{/formula}}.
	29	+
	30	+{{/detail}}
	31	+
	32	+{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	33	+Wir gehen bis zum Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} des Quadrats {{formula}}ABCD{{/formula}}, das heißt bis zum Mittelpunkt der Diagonalen {{formula}}\overline{AC}{{/formula}}, und von dort aus in Richtung des Normalenvektors {{formula}}\vec{n}{{/formula}} von {{formula}}H{{/formula}}, da dieser senkrecht auf {{formula}}ABCD{{/formula}} steht.
	34	+<br>
	35	+Da die Kantenlänge des Würfels {{formula}}12{{/formula}} ist (siehe Teilaufgabe 1.), müssen wir von {{formula}}M{{/formula}} aus {{formula}}6{{/formula}} Längeneinheiten in Richtung {{formula}}\vec{n}{{/formula}} gehen.
	36	+<br>
9	9	Der Normalenvektor besteht aus den Koeffizienten der Gleichung der Ebene {{formula}}H{{/formula}} in Koordinatenform:
	38	+<br>
10	10	{{formula}}H:\ 2x_1+x_2+2x_3=6 \ \Rightarrow\ \vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right){{/formula}}
	40	+<br>
11	11	Der Betrag von {{formula}}\vec{n}{{/formula}} ergibt: {{formula}}\left|\vec{n}\right|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3{{/formula}}
12		-Da die Kantenlänge des Würfels 12 ist und wir nur die Hälfte von {{formula}}M{{/formula}} aus nach oben gehen müssen, benötigen wir also den doppelten Normalenvektor {{formula}}2\vec{n}{{/formula}}, um von {{formula}}M{{/formula}} zum gesuchten Punkt {{formula}}P_1{{/formula}} zu gelangen:
	42	+<br>
	43	+Da die Kantenlänge des Würfels {{formula}}12{{/formula}} ist und wir nur die Hälfte von {{formula}}M{{/formula}} aus nach oben gehen müssen, benötigen wir also den doppelten Normalenvektor {{formula}}2\vec{n}{{/formula}}, um von {{formula}}M{{/formula}} zum gesuchten Punkt {{formula}}P_1{{/formula}} zu gelangen:
13	13
14	14	{{formula}}
15	15	\begin{align}
...	...	@@ -24,6 +24,7 @@
24	24	{{/formula}}
25	25
26	26	Einer der beiden gesuchten Punkte lautet also {{formula}}P_1\left(3\left|0\right|9\right){{/formula}}.
	58	+<br>
27	27	Den anderen gesuchten Punkt (den unteren Punkt) {{formula}}P_2{{/formula}} erhält man, wenn man den doppelten Normalenvektor subtrahiert statt addiert:
28	28
29	29	{{formula}}
...	...	@@ -40,7 +40,8 @@
40	40
41	41
42	42	Der zweite Punkt lautet also {{formula}}P_2\left(-5\left|-4\right|1\right){{/formula}}.
43		-
	75	+<br>
	76	+<br>
44	44	__Hinweis__: Es ist jedoch nur nach einem der beiden Punkte gefragt.
	78	+{{/detail}}
45	45
46		-)))