Änderungen von Dokument Lösung Einfluss des Exponenten auf das Annäherungsverhalten an die Achsen

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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	1	+Zu a)
	2	+Damit sich der Graph einer Potenzfunktion für große x-Werte der x-Achse nähert, müssen die Funktionswerte immer kleiner werden. Das ist nur dann möglich, wenn der Exponent negativ ist.
	3	+Bei einem negativen Exponenten steht die Variable x im Nenner. Je größer der Betrag des Exponenten ist, desto öfter wird durch x geteilt. Dadurch werden die Funktionswerte für große x-Werte schneller sehr klein.
1	1
2		-(% style="list-style: alphastyle" %)
3		-1. Kriterium für „schneller gegen die x-Achse“ für große {{formula}}|x|{{/formula}})} \\
4		-Wenn sich ein Graph für große {{formula}}|x|{{/formula}} der x-Achse annähert, dann werden die Funktionswerte immer kleiner (gehen gegen {{formula}}0{{/formula}}). Das klappt bei Potenzfunktionen {{formula}}x^k{{/formula}} nur, wenn der Exponent \textbf{negativ} ist: \\
5		-Bei {{formula}}k<0{{/formula}} kann man schreiben {{formula}}x^k=\frac{1}{x^{-k}}{{/formula}}. Dann steht im Nenner eine Potenz von {{formula}}x{{/formula}}. \\
6		- Für große {{formula}}|x|{{/formula}} wird der Nenner riesig – und der Bruch wird sehr klein, also nähert sich der Graph der x-Achse.
	5	+Kriterium:
	6	+**Von zwei Potenzfunktionen mit negativem Exponenten nähert sich diejenige schneller der x-Achse, deren Exponent einen größeren Betrag hat (also „stärker negativ“ ist**).
7	7
8		-Kriterium: Schreibe beide Funktionen als Bruch:
9		-{{formula}}f(x)=x^k=\frac{1}{x^{-k}}{{/formula}} und {{formula}}g(x)=x^m=\frac{1}{x^{-m}}{{/formula}} (das geht nur, wenn {{formula}}k<0{{/formula}} und {{formula}}m<0{{/formula}}). \\
10		- Dann gilt: \\
11		- Je größer {{formula}}-k{{/formula}} (also je „stärker negativ“ {{formula}}k{{/formula}} ist), desto größer wird für große {{formula}}|x|{{/formula}} der Nenner {{formula}}x^{-k}{{/formula}} und desto \textbf{schneller} wird {{formula}}f(x){{/formula}} klein. \\
12		- Also: Wenn {{formula}}k<m<0{{/formula}}, dann fällt {{formula}}f{{/formula}} für große {{formula}}|x|{{/formula}} schneller gegen {{formula}}0{{/formula}} als {{formula}}g{{/formula}}.
	8	+Zu b)
	9	+Sich der y-Achse annähern bedeutet, dass die Funktionswerte sehr groß werden, wenn x sich der 0 nähert. Auch das passiert nur bei Potenzfunktionen mit negativem Exponenten, da die Funktion bei
	10	+x=0 nicht definiert ist.
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14		-1.Überprüfung für „schneller zur y-Achse“ (für {{formula}}x\to 0{{/formula}})} \\
15		- Sich der y-Achse „annähern“ bedeutet hier: Wenn {{formula}}x{{/formula}} sehr nahe bei {{formula}}0{{/formula}} ist, werden die Funktionswerte sehr groß (der Graph schießt nach oben oder unten), und bei {{formula}}x=0{{/formula}} gibt es keinen Funktionswert (senkrechte Asymptote). Das passiert ebenfalls nur bei \textbf{negativen} Exponenten.
	12	+Je größer der Betrag des negativen Exponenten ist, desto schneller wachsen die Funktionswerte, wenn x sehr klein wird. Der Graph wird also in der Nähe der y-Achse schneller steil.
16	16
17		- Mit derselben Bruchschreibweise {{formula}}x^k=\frac{1}{x^{-k}}{{/formula}} sieht man: \\
18		- Wenn {{formula}}x\to 0{{/formula}}, dann wird {{formula}}x^{-k}{{/formula}} im Nenner sehr klein – und der Bruch wird sehr groß. \\
19		- Je größer {{formula}}-k{{/formula}} ist, desto stärker wirkt dieser Effekt: Der Graph wird in der Nähe der y-Achse \textbf{schneller} sehr groß (bzw. sehr klein, falls er nach unten geht).
20		-
21		-Ergebnis Dasselbe Kriterium funktioniert auch hier: \\
22		-Je „stärker negativ“ der Exponent ist (je größer {{formula}}-k{{/formula}}), desto schneller wächst der Betrag der Funktionswerte, wenn {{formula}}x\to 0{{/formula}}. \\
23		-Hinweis: Bei ungeradem negativem Exponenten sind die Funktionswerte für {{formula}}x<0{{/formula}} negativ (links geht der Graph nach unten), aber die „Schnelligkeit“ der Annäherung erkennt man am Betrag der Werte.
24		-
25		-
	14	+Ergebnis:
	15	+Das Kriterium aus Teil 1 gilt auch für die Annäherung an die y-Achse:
	16	+**Je größer der Betrag des negativen Exponenten ist, desto schneller nähert sich der Graph der y-Achse an**