2024 eAN - Teil B - Lineare Algebra - Aufgabensatz II

Aufgabe 1  Lineare Algebra 𝕋  𝕃

Gegeben sind die Punkte \(A(0|3|0)\) und \(C(2|-1|4)\) sowie die Gerade \(h\) mit
\(h: \vec{x}= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2 \end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2 \end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R}\)
Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(A\) und \(C\).

1. [4 BE] Zeige, dass die Geraden \(g\) und \(h\) in einer gemeinsamen Ebene \(E\) liegen. 
2. [3 BE] Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene \(E\).
   (Zur Kontrolle  \(E: 2x_1+2x_2+x_3=6)\)
3. [3 BE] Berechne die Koordinaten der Spurpunkte von \(E\).
   Stelle die Ebene \(E\) mit Hilfe der Spurpunkte in einem räumlichen Koordinatensystem dar. 

Die Punkte \(A\) und \(C\) sind gegenüberliegende Eckpunkte eines in der Ebene \(E\) liegenden Quadrats \(ABCD\) mit Mittelpunkt \(M\).
Dieses Quadrat \(ABCD\) ist die Grundfläche einer geraden Pyramide, d.h. der Verbindungsvektor von \(M\) und der Spitze der Pyramide ist orthogonal zur Grundfläche.

4. [5 BE] Zeige, dass ein weiterer Eckpunkt des Quadrats die Koordinaten \((-1|2|4)\) hat.
   Berechne die Koordinaten des vierten Eckpunktes \(D\).
5. [3 BE] Bestimme die Koordinaten einer möglichen Spitze der Pyramide, sodass diese die Höhe 12 hat. 

Eine weitere gerade Pyramide mit der Grundfläche \(ABCD\) hat die Spitze \(R\)  und wird aus der \(x_3\)-Richtung beleuchtet. Es entsteht ein Schatten in der Ebene \(E\).
Der Schattenpunkt der Spitze \(R\) ist \(R^\prime(3|3|-6)\).

6. [7 BE] Begründe, dass der Schattenpunkt \(R^\prime\) außerhalb der Grundfläche der Pyramide liegt.
   Berechne die Koordinaten der Spitze \(R\).