Änderungen von Dokument BPE 2 Einheitsübergreifend

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Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.dirktebbe
	1	+XWiki.martinrathgeb

Inhalt

...	...	@@ -60,4 +60,54 @@
60	60	{{/lehrende}}
61	61	{{/aufgabe}}
62	62
	63	+
	64	+{{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Martin Rathgeb" zeit="12" cc="BY-SA"}}
	65	+Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen an den Achsen gibt es eine besondere Transformation, die in ihrer Bedeutung oft übersehen wird: die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, d.h., an der Geraden mit Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Transformation ist weit mehr als eine Spielerei, denn sie führt auf die Umkehrung der Funktion.
	66	+
	67	+Betrachten wir dafür zunächst ein Beispiel. Für alle Funktionen schränkt man den Definitionsbereich auf {{formula}}x> 0{{/formula}} ein. Wieso dies sinnvoll ist wird später klar. Um die Funktionsgleichung nach Spiegelung rechnerisch zu ermitteln nimmt man die Funktionsgleichung, z.B. {{formula}} y=x^2{{/formula}}, löst diese nach x auf und vertauscht anschließend die Variablen so erhält man den gespiegelten Funktionsgraphen mit passender Funktionsgleichung.
	68	+
	69	+{{formula}}
	70	+\begin{align*}
	71	+y=x^2 \;\; | \,\sqrt{\phantomtext}\\
	72	+x=\sqrt{y}\;\;
	73	+{{/formula}}
	74	+Vertausche x und y miteinander um die Funktionsgleichung des gespiegelten Funktionsgraphens zu erhalten.
	75	+{{formula}}
	76	+y=\sqrt{x}
	77	+\end{align*}
	78	+{{/formula}}
	79	+
	80	+Betrachte die folgenden drei Funktionsgleichungen: {{formula}}f(x)=2x{{/formula}}, {{formula}}f(x)=(x+1)^2{{/formula}} und {{formula}}f(x)=x^3{{/formula}}.
	81	+(% class="abc" %)
	82	+1. Löse {{formula}}f(x)=y{{/formula}} nach Ersetzung des Funktionswerts //f(x)// durch den jeweiligen Funktionsterm nach //x// auf; du erhältst damit für //x// einen Funktionsterm in //y//.
	83	+1. Zeichne die Paare von Graphen und untersuche, wie sie zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
	84	+1. Die in a) berechneten Terme sind die Funktionsterme der Umkehrfunktionen ({{formula}}f^{-1}{{/formula}}). Untersuche jeweils den Ausdruck {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, in dem du {{formula}}f(x){{/formula}} für //y// einsetzt und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
	85	+1. Abschließend stellt sich die Frage: Warum muss der Definitionsbereich der Funktion //f// verkleinert werden, wenn die Umkehrfunktion berechnet wird? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
	86	+[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
	87	+{{/aufgabe}}
	88	+
	89	+{{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden (alt)" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder" zeit="12" cc="BY-SA"}}
	90	+Neben der Spiegelung an der x- und y- Achse kann man auch an der ersten Winkelhalbierenden (gegeben durch y=x) einen Funktionsgraphen spiegeln. Für alle Funktionen schränkt man den Definitionsbereich auf {{formula}}x> 0{{/formula}} ein. Wieso dies sinnvoll ist wird später klar. Um die Funktionsgleichung nach Spiegelung rechnerisch zu ermitteln nimmt man die Funktionsgleichung, z.B. {{formula}} y=x^2{{/formula}}, löst diese nach x auf und vertauscht anschließend die Variablen so erhält man den gespiegelten Funktionsgraphen mit passender Funktionsgleichung.
	91	+
	92	+{{formula}}
	93	+\begin{align*}
	94	+y=x^2 \;\; | \,\sqrt{\phantomtext}\\
	95	+x=\sqrt{y}\;\;
	96	+{{/formula}}
	97	+Vertausche x und y miteinander um die Funktionsgleichung des gespiegelten Funktionsgraphens zu erhalten.
	98	+{{formula}}
	99	+y=\sqrt{x}
	100	+\end{align*}
	101	+{{/formula}}
	102	+
	103	+(% class="abc" %)
	104	+1. Bestimme die an der ersten Winkelhabierenden gespiegelten Funktionen {{formula}} f(x)=\frac{1}{x}; g(x)= \frac{1}{x^2} {{/formula}} und {{formula}} h(x)= \frac{2\,x+3}{-4\,x-2}{{/formula}}. Hinweis: {{formula}}x >0{{/formula}}
	105	+1. Bestimme graphisch den an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelten Graphen zu den drei dargestellten Graphen.
	106	+1. Die in a) berechneten Funktionen nennt man auch Umkehrfunktionen (Abkürzung {{formula}} f^{-1}{{/formula}} ) . Berechne den Funktionsterm {{formula}} f^{-1}(f(x)){{/formula}}. Beschreibe deine Beobachtung. Hinweis: Setze dazu den Term der Funktionsgleichung {{formula}}f(x){{/formula}} in die in a) berechnete Umkehrfunktion {{formula}} f^{-1}{{/formula}} ein und fasse zusammen.
	107	+1. Begründe mit Hilfe deiner Lösungen von a) und b) wieso der Definitionsbereich der Funktion {{formula}} f
	108	+{{/formula}} verkleinert werden muss, wenn man die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion berechnet.
	109	+
	110	+[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
	111	+{{/aufgabe}}
	112	+
63	63	{{matrix/}}

Einheitsuebergreifend2.png

Author

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	1	+XWiki.niklaswunder

Größe

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	1	+22.7 KB

Inhalt