BPE 2 Einheitsübergreifend

Aufgabe 1  Arithmagon Darstellungsformen 𝕃

1. Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.

   	Graph: nach unten geöffnete Parabel in KooSyS ohne Skalierung

2. Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Parabel:

   1. Lage.
      i. Scheitel  mit Symmetrieachse  der Parabel
      ii. x-Achsenabschnitte  mit x-Achsenschnittpunkten
      iii. y-Achsenabschnitt  mit y-Achsenschnittpunkt

   2. Kovariation.
      i. Steigung  an der Stelle
      ii. Krümmung

#problemlösen

Aufgabe 2  Formen von Parabelgleichungen

In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei  der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.

Hauptform
Scheitelform
Produktform
Gestreckte Normalform

Die Normalparabel ist Funktionsgraph der quadratischen Potenzfunktion mit . Die kanonischen Transformationen (Spiegelung, Streckung, Verschiebung jeweils bezogen auf die orientierten Koordinatenachsen; vgl. Merkhilfe, S. 4) der Normalparabel liefern weitere Parabeln als Funktionsgraphen mit Parabelgleichungen in Scheitelform. Ausmultiplizieren liefert die zugehörige Hauptform, das ist zumeist eine Linearkombination der drei Potenzfunktionen vom Grad : die konstante Funktion mit  (die Potenzfunktion vom Grad 0), proportionale Funktion mit  (die Potenzfunktion vom Grad 1) und quadratische Funktion mit  (die Potenzfunktion vom Grad 2). Der Darstellungswechsel zur Produktform ist schwieriger, aber auf verschiedene Weisen zugänglich. Wir folgen hier dem Darstellungswechsel nach Po-Shen Loh.

Verfahren statt Formel (Teil 1). Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen Hauptform und Produktform einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.

Verfahren statt Formel (Teil 2). In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.

(27:00)	(33:11)

Anmerkung. Der Kern des Verfahrens ist die Symmetrisierung: Die zwei Nullstellen weichen nämlich von der Hälfte ihrer Summe (das ist die x-Koordinate  des Scheitels) um den gleichen Wert  (das ist die Diskriminante, an der sich die Lösbarkeit der Gleichung erkennen lässt) nach oben bzw. unten ab. Ausgehend von ihrem Produkt lässt sich diese eine Abweichung  infolge der dritten binomischen Formel als Lösung einer rein-quadratischen Gleichung ermitteln.

1. Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die Produktform. Folge in Vorgehen und Darstellung obigen Beispielen (dem konkreten und dem allgemeinen).

   1. 
   2. 
   3. 
   4. 
   5. 
   6. 
       

2. Begründe, dass gilt:
   i.  und
   ii.  und
   iii.  und

3. Ermittle zu den in a) gegebenen Hauptformen der Parabelgleichungen die Scheitelformen.
4. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
   Anmerkung. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.

Aufgabe 3  Weg zur Schule 𝕋  𝕃

Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion  mit  (Geschwindigkeit  in km/min; Entfernung  in km; Laufzeit  in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.

1. Erstelle die Funktion , die die benötigte Zeit in Minuten in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit  in km/h beschreibt.
2. Bestimme die Definitionslücke der Funktion .
3. Erläutere, warum es in diesem Kontext sinnvoll ist, eine Definitionslücke zu haben.
4. Zeichne den Graphen der Funktion  und markiere die Definitionslücke.

Aufgabe 4  Potenzgleichungen lösen - graphisch und rechnerisch 𝕃

Gegeben sind die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen  und .

1. Gib jeweils die maximale Defintionsmenge und den zugehörigen Wertebereich an.
2. Zeichne die Funktionsgraphen zu den Funktionen in ein gemeinsammes Koordinatensystem im Intervall .
3. Bestimme die Lösungen der Wurzelgleichung  graphisch.
4. Berechne die Lösungen und vergleiche deine berechneten Lösungen mit den graphischen Lösungen aus c).

Aufgabe 5  Lineare Regression 𝕃

Nachfolgend ist die Menge freier Chlorreste in ppm (parts per million) in Schwimmbecken als Funktion der Zeit (in Stunden)
nach der Behandlung mit Chemikalien angegeben

1. Bestimme mit Hilfe des Taschenrechners eine Ausgleichsgerade für die gegebenen Messwerte. Notiere auch den Korrelationskoeffizienten r.
2. Berechne mit Hilfe deiner Ausgleichsgeraden einen Näherungswert zum Zeitpunkt 7 Stunden nach dem Messbeginn.

Aufgabe 6  Korrelation 𝕃

Die Tabelle gibt Daten aus seriösen Quellen über die Anzahl der Storchenpaare und die Einwohneranzahl in den Jahren 1930 bis 1936 in Oldenburg wieder.

1. Bestimme die Ausgleichsgerade zwischen Storchenpaaren und Einwohnerzahlen sowie den Korrelationskoeffizienten. 
2. Alex behauptet, dass die Störche hauptsächlich für den Einwohnerzuwachs in Oldenburg verantwortlich waren. Nimm dazu begründet Stellung und beziehe den in a) berechneten Korrelationskoeffizienten in deine Begründung mit ein. 

Aufgabe 7  Füllstände 𝕃

Die beiden abgebildeten Gefäße werden mit Wasser gefüllt. Ist es möglich, dass bei gleichem Füllstand genau gleich viel Wasser in den Gefäßen ist?

Finde gegebenenfalls diesen Füllstand und das zugehörige Wasservolumen heraus.

#problemlösen

Aufgabe 8  Spiegeln an der Winkelhalbierenden 𝕃

Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben der Verschiebung und der Streckung in Richtung einer Koordinatenachse bzw. der Spiegelung an einer Koordinatenachse gibt es eine weitere besondere Transformation, nämlich die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, das ist die Gerade mit der Gleichung . Diese Spiegelung bewirkt den Koordinatentausch , d.h., die Umkehrung  der Zuordnung .
Dazu drei Beispiele: Das Spiegelbild der positiv orientierten x-Achse (, ein Funktionsgraph) ist die positiv orientierte y-Achse (, kein Funktionsgraph); das Spiegelbild der positiv orientierten y-Achse wiederum ist die positiv orientierte x-Achse; das Spiegelbild der Normalparabel (, ein Funktionsgraph) sind die beiden Wurzeläste () zusammengenommen (kein Funktionsgraph). Betrachten wir das dritte Beispiel genauer: Um aus der Gleichung  rechnerisch die Gleichung  zu ermitteln, löst man zunächst die Gleichung  nach  auf und tauscht dann in der erhaltenen Gleichung  noch die Variablen gegeneinander aus ().

Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Funktionsgraphen: ,  und .

1. Löse die Gleichungen jeweils nach  auf; du erhältst damit für  einen Funktionsterm  in .
2. Führe in den in a) berechneten Termen  den Variablentausch durch, zeichne die Graphen der Umkehrungen zusätzlich ins Koordinatensystem ein und untersuche, wie die Paare von Graphen zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
3. Die in a) berechneten Terme  sind insbesondere in Monotonieintervallen von  Funktionsterme von Umkehrfunktionen . Untersuche die Ausdrücke , indem du  für  einsetzt, und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
4. Abschließend stellt sich die Frage: Weshalb der Definitionsbereich der Funktionen  (z.B. auf ein Monotonieintervall) verkleinert werden muss, um eine Umkehrfunktion zu erhalten? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).