BPE 2.1 Funktionstypen und deren Eigenschaften

1  Erkunden - Wertetabelle  (k.A.)

1. Ergänze für die Funktionsgleichung \(f(x)=x^2\) folgende Wertetabelle (soweit wie möglich).

   \(x\)	-1		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   \(f(x)\)		-1												400	900	1600	2500	3600	4900	6400	8100	10000

2. Ergänze für die Funktionsgleichung \(g(x)=x^{1/2}\) folgende Wertetabelle (soweit wie möglich).

   \(x\)	-1		0	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
   \(g(x)\)		-1												20	30	40	50	60	70	80	90	100

3. Erkennst du eine Symmetrie?
4. Sei nun \(x\in \mathbb{R}^+\). Bestimme

   1.1 \(g(y)\) für \(y=f(x)\) und
   1.1 \(f(y)\) für \(y=g(x)\).

5. Sei nun \(x\in \mathbb{R}\). Untersuche

   1.1 \(g(y)\) für \(y=f(x)\) und
   1.1 \(f(y)\) für \(y=g(x)\).

2  Erkunden - Wertetabelle  (k.A.)

Untersuche die Funktion f mit \(f(x)=\frac{1}{x}\) und Definitionsbereich \(\mathbb{R}^*\) im Hinblick auf ihr Randverhalten und ihre Wertemenge. Ergänze dafür zunächst folgende Wertetabellen.

1. Randverhalten: Verhalten im Unendlichen
   1.1 Verhalten gegen plus Unendlich (\(+\infty\))

   \(x\)	\(+1\)	\(+10\)	\(+100\)	\(+1000\)	\(+10^6\)	\(+10^9\)	\(+10^{12}\)
   \(f(x)\)

   1.1 Verhalten gegen minus Unendlich (\(-\infty\))

   \(x\)	\(-1\)	\(-10\)	\(-100\)	\(-1000\)	\(-10^6\)	\(-10^9\)	\(-10^{12}\)
   \(f(x)\)

1. Randverhalten: Verhalten nahe der Definitionslücke (\(x \approx 0\))
   1.1 Verhalten links bei der Definitionslücke (\(x \approx 0\) mit \(x<0\))

   \(x\)	\(-1\)	\(-0,1\)	\(-0,01\)	\(-0,001\)	\(-10^{-6}\)	\(-10^{-9}\)	\(-10^{-12}\)
   \(f(x)\)

   1.1 Verhalten rechts bei der Definitionslücke (\(x \approx 0\) mit \(x>0\))

   \(x\)	\(+1\)	\(+0,1\)	\(+0,01\)	\(+0,001\)	\(+10^{-6}\)	\(+10^{-9}\)	\(+10^{-12}\)
   \(f(x)\)

2. Erkennst du eine Symmetrie?
3. Beschreibe das Randverhalten der Funktion und nenne ihre Wertemenge.
4. Bestimme \(g(y)\) für \(y=g(x)\) und \(x\in \mathbb{R}^*\).

3  Erkunden - Gerader Parameter  (k.A.)

Gib zu den Funktionsgleichungen \(f(x)=x^2\), \(g(x)=x^{1/2}\) und \(h(x)=x^{-2}\) jeweils den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an und skizziere die Graphen der Funktionen ggf. mit ihren Asymptoten in ein gemeinsames Koordinatensystem, dessen x-Achse von \([-3; +3]\) geht. - Erkennst du bei einem Graphen bzw. zwischen zwei Graphen eine Symmetrie?

4  Erkunden - Ungerader Parameter  (k.A.)

Gib zu den Funktionsgleichungen \(f(x)=x^3\), \(g(x)=x^{1/3}\) und \(h(x)=x^{-3}\) jeweils den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an und skizziere die Graphen der Funktionen ggf. mit ihren Asymptoten in ein gemeinsames Koordinatensystem, dessen x- und y-Achse jeweils von \([-8; +8]\) geht. - Erkennst du bei einem Graphen bzw. zwischen zwei Graphen eine Symmetrie?

5  D und W  (k.A.) 𝕃

Gib jeweils den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an und skizziere die Graphen der Funktionen ggf. mit ihren Asymptoten:

1. \(f(x)=\frac{1}{x-2}+1\)
2. \(g(x)=\sqrt{x+2}-1\)

6  Eigenschaften  (k.A.) 𝕃

Gegeben ist die Funktionsgleichung \(f(x) = \frac{-3}{x-2}+4\).

1. Gib für die Funktion f den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich und den Globalverlauf an.
2. Nenne für den Graphen von f die waagerechte Asymptote und die senkrechte Asymptote.
3. Zeige durch Rechnung, dass der Graph der Funktion weder symmetrisch zum Ursprung noch symmetrisch zur y-Achse ist.

7  Venn - Eigenschaften  (8 min) 𝕃

Gib für jedes Feld A .. H eine passende Funktion \(f(x)=a\cdot x^n\) an. Sollte ein Feld nicht gefüllt werden können, begründe bitte, warum es nicht geht.

Zusatzaufgabe: Finde möglichst einfache/ komplexe Lösungen.

#problemlösen

8  Stetigkeit  (5 min)

Sascha behauptet, die Funktion f mit \(f(x) = \frac{1}{x}\) sei auf ihrem maximalen Definitionsbereich nicht stetig, weil man ihren Graphen nicht ohne Absetzen zeichnen kann. Nimm dazu Stellung!

9  Stetigkeitsbetrachtungen  (5 min) 𝕃

Beurteile für jedes Schaubild, ob der Graph zu einer (zusammengesetzten) Funktion gehören kann und ob diese im dargestellten stetig sind!