Wiki-Quellcode von Lösung Probe Wurzelgleichungen
Zuletzt geändert von Niklas Wunder am 2024/10/14 14:17
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
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19.1 | 1 | a) Man errechnet |
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18.1 | 2 | |
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15.1 | 3 | {{formula}}\begin{align*} |
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17.1 | 4 | \sqrt{x+4}=x-2 \;\; | \,^2 \\ |
| 5 | x+4=(x-2)^2\\ | ||
| 6 | x+4=x^2-4x+4 \;\; | \,-x-4\\ | ||
| 7 | 0=x^2-5x=x\cdot(x-5) | ||
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15.1 | 8 | \end{align*} |
| 9 | {{/formula}} | ||
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18.1 | 10 | |
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19.1 | 11 | Somit folgt mit dem Lemma vom Nullprodukt (Satz vom Nullprodukt), dass {{formula}} x_1=0 {{/formula}} und {{formula}} x_2=5 {{/formula}} mögliche Lösungen der Gleichung sind. Die Probe der beiden Lösungen liefert |
| 12 | 1.Fall {{formula}} x_1=0 {{/formula}} | ||
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28.1 | 13 | {{formula}} \sqrt{x_1+4}=\sqrt{0+4}=2 \neq -2=0-2=x_1-2 {{/formula}} |
| 14 | liefert eine falsche Aussage, d.h. {{formula}}x_1=0 {{/formula}} ist keine Lösung.\\ | ||
| 15 | 1.Fall {{formula}} x_1=5 {{/formula}} | ||
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19.1 | 16 | {{formula}} \sqrt{x_2+4}=\sqrt{5+4}=3=5-2=x_2-2 {{/formula}} |
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31.1 | 17 | liefert eine wahre Aussage, d.h. {{formula}}x_2=5{{/formula}} ist ebenfalls eine Lösung. |
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33.1 | 18 | Wir erhalten somit die Lösungsmenge {{formula}}L=\lbrace 5\rbrace{{/formula}}. |
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19.1 | 19 | |
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24.1 | 20 | b) Man errechnet |
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18.1 | 21 | |
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22.1 | 22 | {{formula}} |
| 23 | \begin{align*} | ||
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21.1 | 24 | \sqrt{x-3}=\sqrt{2\,x+3} \;\; |\,^2\\ |
| 25 | x-3=2\,x+3 \,\, | -x\\ | ||
| 26 | -3=x+3 \,\, |-3\\ | ||
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24.1 | 27 | x=-6 \,. |
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16.1 | 28 | \end{align*} |
| 29 | {{/formula}} | ||
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23.1 | 30 | |
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21.1 | 31 | Wir überprüfen |
| 32 | {{formula}} | ||
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25.1 | 33 | \sqrt{x-3}=\sqrt{-6-3}=\sqrt{-9} \,. |
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21.1 | 34 | {{/formula}} |
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28.1 | 35 | Dies führt auf eine negative Wurzel, die keine reelle Lösung hat. Die Probe ist also negativ und {{formula}} x=-6 |
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29.1 | 36 | {{/formula}} ist keine Lösung. Die Lösungsmenge lautet demnach {{formula}} L = \emptyset {{/formula}} . |
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25.1 | 37 | c) Man errechnet |
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16.1 | 38 | |
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19.1 | 39 | {{formula}} |
| 40 | \begin{align*} | ||
| 41 | \sqrt{x+27}=6\cdot \sqrt{x-8} \;\; |\,^2 \\ | ||
| 42 | x+27 = 36 \cdot (x-8) | ||
| 43 | x+27=36\,x- 288\\ | ||
| 44 | 35\,x=315 \\ | ||
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26.1 | 45 | x=9\,. |
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19.1 | 46 | \end{align*} |
| 47 | {{/formula}} | ||
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18.1 | 48 | |
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19.1 | 49 | Die Probe liefert |
| 50 | {{formula}} | ||
| 51 | \sqrt{x+27}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6=6\cdot 1=6\cdot \sqrt{9-8}=6\cdot \sqrt{x-8}\,. | ||
| 52 | {{/formula}} | ||
| 53 | Die Lösungsmenge ist demnach {{formula}} L=\lbrace 9\rbrace {{/formula}} | ||
| 54 | |||
| 55 |