Wiki-Quellcode von Lösung Anwendung drei Verfahren

Version 5.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/06 23:22

version	line-number	content
2.1	1	Aufgabenstellung:
3.1	2	Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:
2.1	3
	4	Lösungsschritte:
1.1	5	(% class="abc" %)
5.1	6	1. //Tabellarisches Verfahren (Teil 1).//
4.1	7
5.1	8	Wertetabelle I (ganzzahlige Werte):
2.1	9	(% class="border slim" %)
3.1	10	\|{{formula}}x{{/formula}} \|{{formula}}-2{{/formula}}\|{{formula}}-1{{/formula}}\|{{formula}}0{{/formula}}\|{{formula}}1{{/formula}}\|{{formula}}2{{/formula}}\|
	11	\|{{formula}}f(x){{/formula}} \|{{formula}}3{{/formula}} \|{{formula}}0{{/formula}} \|{{formula}}3{{/formula}}\|{{formula}}0{{/formula}} \|{{formula}}3{{/formula}}\|
4.1	12
3.1	13	Interpretation:
	14	Die Funktion nimmt in diesen Punkten ausschließlich nicht-negative Werte an. Nur bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} wird der Funktionswert null. Zwischen diesen Punkten bleibt das Verhalten unklar – wir sehen noch keine negativen Werte. Eine genauere Untersuchung ist nötig.
4.1	15
5.1	16	1. //Tabellarisches Verfahren (Teil 2).//
	17
	18	Wertetabelle II (ergänzende Zwischenwerte):
3.1	19	(% class="border slim" %)
	20	\|{{formula}}x{{/formula}} \|{{formula}}-1{,}5{{/formula}}\|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}\|{{formula}}0{,}5{{/formula}}\|{{formula}}1{,}5{{/formula}}\|
	21	\|{{formula}}f(x){{/formula}} \|{{formula}}-0{,}9375{{/formula}}\|{{formula}}2{,}4375{{/formula}}\|{{formula}}2{,}4375{{/formula}}\|{{formula}}-0{,}9375{{/formula}}\|
4.1	22
3.1	23	Interpretation:
	24	Nun zeigt sich: In den Intervallen {{formula}}(-\sqrt{3},\ -1){{/formula}} und {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} ist {{formula}}f(x) < 0{{/formula}}. Dazwischen sowie außerhalb dieser Bereiche nimmt {{formula}}f(x) positive Werte an. Das deutet auf vier Nullstellen und drei Intervallbereiche für das Vorzeichenverhalten hin.
1.1	25
2.1	26	---
1.1	27
3.1	28	3. Graphische Skizze:
1.1	29
3.1	30	Die Funktion ist geraden Grades (4) mit positivem Leitkoeffizienten (1). Daraus folgt:
	31	- {{formula}}\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = +\infty{{/formula}}
	32	- Die Funktion ist achsensymmetrisch, da alle Potenzen gerade sind.
	33	- Die vorherige Tabelle zeigt, dass der Graph in der Nähe von {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} die x-Achse berührt und dazwischen negativ wird.
1.1	34
3.1	35	Lage zur x-Achse:
	36	- Nullstellen: {{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
	37	- Graph liegt oberhalb der x-Achse für:
	38	- {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}}
	39	- {{formula}}-1 < x < 1{{/formula}}
	40	- {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}}
1.1	41
2.1	42	---
1.1	43
3.1	44	4. Rechnerisches Verfahren:
1.1	45
3.1	46	Faktorisieren:
1.1	47
3.1	48	{{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}){{/formula}}
1.1	49
3.1	50	Nullstellen:
1.1	51
3.1	52	{{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
1.1	53
3.1	54	Vorzeichenanalyse:
1.1	55
3.1	56	\| Intervall \| Testwert \| Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} \|
	57	\|----------------------------------\|----------\|---------------------------------------------\|
	58	\| {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} \| {{formula}}x = -2{{/formula}} \| {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} \|
	59	\| {{formula}}(-\sqrt{3}, -1){{/formula}} \| {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} \| {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} \|
	60	\| {{formula}}(-1,\ 1){{/formula}} \| {{formula}}x = 0{{/formula}} \| {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} \|
	61	\| {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} \| {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} \| {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} \|
	62	\| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} \| {{formula}}x = 2{{/formula}} \| {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} \|
1.1	63
3.1	64	Gesuchte Lösung:
	65	{{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für
1.1	66
3.1	67	L = {{formula}}(-\infty,\ -\sqrt{3}) \cup (-1,\ 1) \cup (\sqrt{3},\ \infty){{/formula}}
1.1	68
3.1	69	---
2.1	70
3.1	71	5. Vergleich der Verfahren:
2.1	72
3.1	73	- Das tabellarische Verfahren gibt erste Hinweise auf das Verhalten der Funktion, eignet sich zur Erkundung durch systematisches Probieren, bleibt aber ungenau bei der Bestimmung von Nullstellenpositionen.
	74	- Das graphische Verfahren bietet anschauliche Orientierung: Vorzeichenwechsel, Lage zur x-Achse und Symmetrie werden sichtbar. Es stützt das funktionale Verständnis, ist aber zeichengenauigkeitsabhängig.
	75	- Das rechnerische Verfahren liefert exakte Aussagen zu Nullstellen, Intervallen und Lösungsmenge. Es ist unverzichtbar für formale Sicherheit, setzt jedoch algebraische Fähigkeiten voraus.
2.1	76
3.1	77	Didaktisch:
	78	Die Verfahren stehen in einer natürlichen Lernprogression:
	79	Vom konkreten Probieren (Tabelle) über das visuelle Erfassen (Graph) hin zum symbolischen Durchdringen (Rechnung). Ihr Zusammenspiel stärkt nachhaltiges Verständnis für das Verhalten ganzrationaler Funktionen.
2.1	80
3.1	81	{{/loesung}}
2.1	82
	83	---
	84
	85	Zusammenfassung:
	86	- Das tabellarische Verfahren zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
	87	- Das graphische Verfahren unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
	88	- Das rechnerische Verfahren liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.
	89
	90	{{/loesung}}
	91

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