BPE 7 Einheitsübergreifend

Version 95.1 von Caroline Leplat am 2024/02/05 15:07

Aufgabe 1 Pyramide (gAN) 𝕃

Gegeben ist eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Gegeben sind die Punkte A(12|0|2), B(12|8|2),C(4|8|2) und S(8|4|7,5) .

Zeichnen Sie die Pyramide in ein dreidimensionales Koordinatensystem und benennen sie den Eckpunkt D.
Bestimmen Sie den Mittelpunkt M der Grundfläche der Pyramide.
Zeigen Sie, dass es sich um eine quadratische Grundfläche handelt. Erläutern Sie die Bedeutung von $\vec{MA}\bullet\vec{MS}=0$ .
Untersuchen Sie, welche besondere Lage die Grundfläche der Pyramide im Koordinatensystem hat.

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Aufgabe 2 Nachweis Quader (gAN) 𝕃

Die Vektoren $\vec{a}= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)$ , $\vec{b}= \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$ und $\vec{c_t}= \left(\begin{array}{c} 4t \\ 2t \\ -5t \end{array}\right)$ spannen für jeden Wert von $t \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von .

Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
Bestimme diejenigen Werte von , für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.

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Aufgabe 3 Berechnungen am Quader (gAN) 𝕃

Die Abbildung zeigt einen Quader sowie die Ortsvektoren der Eckpunkte A, B und . Die Grundfläche OABC des Quaders ist quadratisch.

Beschreibe die Lage des Punkts, zu dem der Ortsvektor $\frac{1}{2}\cdot (\vec{b}-\vec{a})$ gehört.

Der Punkt hat den Ortsvektor $\frac{1}{2}\vec{b}+ \vec{d}$ .

Zeichne in die Abbildung ein.
Begründe, dass der Wert des Terms $\vec{b} \circ \overline{OP}$ nur von der Seitenlänge der Grundfläche abhängt.

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Aufgabe 4 Rasenfläche (gAN) 𝕃

Rasenfläche.JPG
Die Punkte A(0|0|0), B(18|0|1,5), C(12|10|1), D(12|15|1) und E(0|15|0) stellen modellhaft die Eckpunkte einer ebenen Rasenfläche dar (vgl. Abbildung). Die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{DE}$ sind parallel.
Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.

Zeige, dass auch $\overline{AE}$ und $\overline{CD}$ parallel sind und dass $\overline{CD}$ und $\overline{DE}$ einen rechten Winkel einschließen.
Ausgehend vom Ansatz $|\overline{AE}| \cdot |\overline{DE}| + \frac{1}{2}\cdot (|\overline{AB}|- |\overline{DE}|)\cdot\bigl(|\overline{AE}|-|\overline{CD}|\bigl)$ kann eine Größe berechnet werden, die im betrachteten Sachzusammenhang eine Rolle spielt. Nenne diese Größe und erläutere den gegebenen Ansatz.

Die Rasenfläche wird von einem Roboter gemäht, der die Form eines flachen Zylinders hat. Zur Beschreibung der Bewegung des Roboters wird der Mittelpunkt seiner kreisförmigen Unterseite betrachtet, die einen Radius von 20 cm hat. Es soll vereinfachend davon ausgegangen werden, dass dieser Mittelpunkt die Rasenfläche berührt. Die Position des Mittelpunkts wird zunächst durch P(3,6|8|0,3) dargestellt (vgl. Abbildung). Die anschließende Bewegung des Mittelpunkts verläuft im Modell entlang der Gerade , die durch verläuft und den Richtungsvektor $\vec{a}= \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)$ hat. Dabei bewegt sich der Roboter auf den durch $\overline{BC}$ dargestellten Rand der Rasenfläche zu.

Berechne die Koordinaten des Punkts , in dem die Strecke $\overline{BC}$ schneidet. (zur Kontrolle: )
Weise nach, dass der Winkel, unter dem sich der Roboter dem Rand der Rasenfläche nähert, etwa 41° groß ist.
Der Roboter ändert seine Richtung, sobald der Rand seiner Unterseite den Rand der Rasenfläche erreicht. Der Punkt, der die Position des Mittelpunkts im Moment der Richtungsänderung darstellt, wird mit bezeichnet. Berechne mithilfe einer geeigneten Skizze die Koordinaten von .

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Aufgabe 5 Ähnlichkeit und Strahlensätze (eAN) 𝕃

Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt das Quadrat ABCD . Die Gerade , die durch und den Mittelpunkt der Seite $\overline{AD}$ verläuft, hat den Richtungsvektor $\vec{v}$ . Der Punkt ist der Fußpunkt des Lots von auf .

Begründe, dass $|\overline{BF}|=2\cdot |\overline{AF}|$ gilt.
Gib einen Term an, mit dem man die Koordinaten von bestimmen könnte, wenn die Koordinaten von und sowie die Komponenten von $\vec{v}$ bekannt wären.

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Aufgabe 6 Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt (eAN) 𝕃

Für $k \in \mathbb{R}$ mit $0<k\leq 6$ werden die Pyramiden ABCD_k mit A(0|0|0), B(4|0|0), C(0|4|0) und D_k(0|0|k) betrachtet (vgl. Abbildung)

Begründe, dass das Dreieck gleichschenklig ist.
Der Mittelpunkt der Strecke $\overline{BC}$ ist .
Begründe, dass $|\overline{MD_k}|=$ $\left| \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ k \end{array}\right)\right|$ die Länge einer Höhe des Dreiecks ist.
Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks .

Für jeden Wert von k liegt die Seitenfläche BCD_k in der Ebene L_k .

3. Bestimme eine Gleichung von L_k in Koordinatenform. (zur Kontrolle: $x_1+x_2+\frac{4}{k}\cdot x_3 =4$ )

4. Ermittle denjenigen Wert von , für den die Größe des Winkels, unter dem die x₃-Achse die Ebene L_k schneidet, 30° beträgt.

Zusätzlich zu den Pyramiden wird der in der Abbildung 2 gezeigte Quader betrachtet. Die Punkte und Q(1|1|3) sind Eckpunkte des Quaders, die Seitenflächen des Quaders sind parallel zu den Koordinatenebenen.
Für k=6 enthält die Seitenfläche BCD_k der Pyramide den Eckpunkt des Quaders. Für kleinere Werte von schneidet die Seitenfläche BCD_k den Quader in einem Vieleck.

5. Für einen Wert von verläuft die Seitenfläche BCD_k durch die Eckpunkte und des Quaders. Bestimme diesen Wert von (zur Kontrolle: )

6.Gib in Abhängigkeit von die Anzahl der Eckpunkte des Vielecks an, in dem die Seitenfläche BCD_k den Quader schneidet.

7. Nun wird die Pyramide ABCD_6 , d. h. diejenige für k=6 , betrachtet. Dieser Pyramide werden Quader einbeschrieben (vgl. Abbildung 3). Die Grundflächen der Quader liegen in der x₁x₂-Ebene, haben den Eckpunkt gemeinsam und sind quadratisch. Die Höhe der Quader durchläuft alle reellen Werte mit 0<h<6 . Für jeden Wert von liegt der Eckpunkt Q_h in der Seitenfläche BCD_6 der Pyramide. Ermittle die Koordinaten des Punkts Q_h .