BPE 7.2 Addition, Skalare Multiplikation, Betrag, Abstand, Strecke

1  Vektor  (5 min) 𝕋  𝕃

Der Vektor \(\vec{a}= \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array}\right)\) verläuft parallel zur zweiten Winkelhalbierenden.
Zusätzlich soll gelten: \(\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right) + \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 0,5 \\ d \end{array}\right)\).
Bestimme den Wert von d.

2  Vektoraddition  (5 min)

Gegeben sind die Punkte \(A(3|1|5)\), \(B(5|2|4)\) und \(C(8|7|1)\).
Berechne die Koordinaten von einem Punkt \(D(d_1|d_2|d_3)\), wobei gilt: \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{o}\)

3  Zylinder  (10 min) 𝕋  𝕃

In einem Koordinatensystem ist ein gerader Zylinder mit dem Radius 5 und der Höhe 10 gegeben, dessen Grundfläche in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt. \( M(8|5|10)\) ist der Mittelpunkt der Deckfläche.

1. Weise nach, dass der Punkt \(P(5|1|0) \) auf dem Rand der Grundfläche des Zylinders liegt.
2. Unter allen Punkten auf dem Rand der Deckfläche hat der Punkt \( S \) den kleinsten Abstand von \( P \), der Punkt \( T \) den größten. Gib die Koordinaten von \( S \) an und bestimme die Koordinaten von \( T \).

4  Vektoren Sechseck  (10 min) 𝕃

Im abgebildeten Sechseck \(ABCDEF\) sind jeweils zwei Seiten parallel zueinander.

1. Stelle die Vektoren \(\Vec{x} \) und \(\Vec{y} \) jeweils mithilfe der Eckpunkte des Sechsecks dar. \(\Vec{x}=\Vec{b}+\Vec{c}+\Vec{d} \qquad \Vec{y}=\Vec{a}+\Vec{c} \)
2. Stelle den Vektor \(\overrightarrow{FB} \) mithilfe drei der Vektoren \(\Vec{a}, \Vec{b}, \Vec{c}, \Vec{d}, \Vec{e} \) und \(\Vec{f} \) dar.
3. Der Punkt \(A\) hat in einem kartesischen Koordinatensystem die Koordinaten \(x_1 = 6, x_2 = 2 \) und \(x_3=-4\) Der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{AB} \) wird mit \(M \) bezeichnet. Der Punkt \(K(2|0|8)\) ist der Mittelpunkt der Strecke \( \overline{AM} \). Ermittle die Koordinaten von \(B\).

5  Nachweis Dreieck  (10 min) 𝕋  𝕃

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(A(1|2|5)\), \(B(2|7|8)\) und \(C(-3|2|4)\) gegeben.

1. Weise nach, dass \(A, B\) und \(C\) Eckpunkte eines Dreiecks sind.
2. Für jede reelle Zahl \(a\) ist ein Punkt \( D_a(a|2+a\sqrt{2}|5+\sqrt{2}) \) gegeben. Bestimme alle Werte von \(a\), für die die Strecke von \( A\) nach \(D_a\) die Länge 2 hat.

6  gleichschenkliges Dreieck  (10 min) 𝕋 

Gegeben sind die Punkte \(A(5|-5|12)\), \(B(5|5|12)\) und \(C(-5|5|12)\).

1. Zeige, dass das Dreieck \(A, B, C\) gleichschenklig ist.
2. Begründe, dass \(A, B\) und \(C\) Eckpunkte eines Quadrats sein können, und gib die Koordinaten des vierten Eckpunktes \(D\) dieses Quadrats an.

7  Saarpolygon  (10 min) 𝕃

Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken \(\overline{AB}\) , \(\overline{BC}\) und \(\overline{CD}\) mit \(A(11|11|0)\), \(B(-11|11|28)\), \(C(11|-11|28)\) und \(D(-11|-11|0)\) besteht (vgl. Abbildung 2). \(A, B, C\) und \(D\) sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

1. Begründe, dass die Punkte \(B\) und \(C\) symmetrisch bezüglich der \(x_3\)-Achse liegen.
2. Berechne die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit.

8  Parallelogramm  (10 min) 𝕋  𝕃

Gegeben sind die Punkte \(A(1|2|3)\), \(B(4|6|4)\), \(C(2|9|6)\) und \(D(-1|5|5)\).
  a) Zeige, dass das Viereck \(ABCD\) ein Parallelogramm ist.
  b) Der Punkt \(P\) liegt auf der Strecke \(\overline{BD}\). Berechne die Koordinaten des Punktes \(P\) so, dass er die Strecke \(\overline{BD}\) im Verhältnis \(1:4\) teilt.

9  Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt  (10 min)

Für \(k \in \mathbb{R} \) mit \(0<k\leq 6\) werden die Pyramiden \(ABCD_k \) mit \(A(0|0|0), B(4|0|0), C(0|4|0)\) und \( D_k(0|0|k)\) betrachtet (vgl. Abbildung)
 

1. Begründe, dass das Dreieck \(BCD_k\) gleichschenklig ist.
2. Der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{BC}\) ist \(M(2|2|0)\).
   Begründe, dass \(|\overline{MD_k}|=\left| \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ k \end{array}\right)\right|\) die Länge einer Höhe des Dreiecks \(BCD_k\) ist.
   Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks \(BCD_k\).

10  Schwerpunkt im Dreieck  (10 min) 𝕃

Gegeben ist das Dreieck \(ABC\) mit den Eckpunkten \(A(0|0|0)\), \(B(2|3|4)\) und \(C(-1|5|-2)\).
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich im Schwerpunkt \(S\).

1. Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes \(S\).
2. Weise mit Hilfe von Vektoren nach, dass der Schwerpunkt \(S\) die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt.