BPE 7.3 Skalarprodukt, Winkel und Orthogonalität

1  Winkel berechnen  (3 min) 𝕋  𝕃

Berechne jeweils den Winkel zwischen den beiden Vektoren:

a) \(\vec a = \left(\begin{array}{c} 7 \\ 5 \\ -3\end{array}\right), \vec b = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2\end{array}\right)\)
 
b) \(\vec a = \left(\begin{array}{c} 7 \\ 5 \\ -3\end{array}\right), \vec c = \left(\begin{array}{c} 1,5 \\ 2,1 \\ 7\end{array}\right)\)

2  Orthogonalen Vektor finden  (3 min) 𝕃

Bestimme a, sodass der Vektor \(\vec u = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 2\end{array}\right)\) zu dem Vektor \(\vec v = \left(\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ a \\ 1\end{array}\right)\) orthogonal ist.

3  Flächenberechnung Dreieck  (5 min) 𝕋  𝕃

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die Punkte A(2|-1|4), B(0|9|-3), C(-2|5|1) festgelegt wird.

4  Skalarprodukt null  (2 min) 𝕃

Gegeben ist der Vektor

Gib einen Vektor an, der orthogonal zu diesem ist!

5  Orthogonalität transitiv  (3 min)

Von drei Vekoren im Raum ist folgendes bekannt. Vektor \(\vec b\) steht auf \(\vec a\) senkrecht und \(\vec c\) auf \(\vec b\). Kann man daraus folgern, dass auch \(\vec c\) auf \(\vec a\) senkrecht stehen muss?
Begründe deine Antwort!

6  Skalarprodukt negativ  (5 min) 𝕋  𝕃

Gib zwei Vektoren an, deren Skalarprodukt negativ ist. Prüfe, ob der Winkel zwischen den Vektoren größer 90° ist. Ist das immer so? Begründe!

7  Drachen begründen  (5 min) 𝕋  𝕃

Begründe, dass es sich bei dem gegebenen Viereck um einen Drachen handelt: A(8,5|5|-3,5), B(4|5|-2), C(-3,5|8|2,5), D(5|7|-1).

8  Quadrat begründen  (4 min) 𝕋  𝕃

Begründe, dass es sich bei dem gegebenen Viereck um ein Quadrat handelt: A(5|-1|3), B(1|1|-1), C(-1|5|3), D(3|3|7).

9  Pfahlbauten  (9 min) 𝕋  𝕃

  
Es soll eine Rekonstruktion eines Hauses der Pfahlbauten am Bodensee gebaut werden. Die vertikalen Pfosten haben eine Gesamthöhe von 7,5m. Das Dach hat die Form eines Dreieckprismas (siehe Nebenstehende Abbildung). Die Dicke der Bauteile des Hauses soll vernachlässigt werden. Die Eckpunkte haben die Koordinaten A(-2| 1|w), B,C(5|-5|w), D, E, F(5|1|3), G,H,I(1,5|1|5),J  mit \(w \in \mathbb{R}\). Die x₁ x₂- Ebene bildet die Wasseroberfläche. 1m in der Wirklichkeit entspricht einer Längeneinheit im Koordinatensystem.
a) Wieviel Meter der Pfosten befinden sich oberhalb des Wassers?
b) Gebe die Koordinaten der Punkte G,H und J an.
c) Berechne die Dachfläche.
d) Berechne den Neigungswinkel des Daches.

10  Punktbestimmung durch Skalarprodukt  (6 min) 𝕃

Gegeben sind die Punkte A(2|-3|1) und B(2|3|1).

1. Begründe, dass die Gerade durch \(A \) und \(B\) parallel zur y-Achse verläuft.
2. Der Punkt \(C\) liegt auf der y-Achse. Die Gerade durch \(A\) und \(C\) steht senkrecht zur Gerade durch \(B\) und \( C\). Bestimme die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punkts \(C\) haben.